20.3 Радиоактивный распад (Radioactive Decay)

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• распознавать наиболее распространённые виды радиоактивного распада;
• определять типичные частицы и энергии, участвующие в реакциях ядерного распада;
• записывать и уравнивать ядерные уравнения распада;
• рассчитывать кинетические параметры процессов распада, включая период полураспада;
• описывать наиболее распространённые методы радиометрического датирования.

Открытие радиоактивности Беккерелем во многом было случайным, и после него многие выдающиеся учёные занялись исследованием этого нового, интригующего явления. Среди них была Мария Кюри (Marie Curie) — первая женщина, получившая Нобелевскую премию, и единственный человек, удостоенный двух Нобелевских премий в разных областях науки (по химии и по физике); именно ей принадлежит сам термин «радиоактивность». Эрнест Резерфорд (Ernest Rutherford), известный своим опытом с золотой фольгой, исследовал и дал названия трём наиболее распространённым видам излучения. В начале XX века было открыто множество радиоактивных веществ, изучены и количественно описаны свойства излучения, сложилось последовательное представление об излучении и ядерном распаде.

Самопроизвольный переход неустойчивого нуклида в другой называется радиоактивным распадом (radioactive decay). Неустойчивый нуклид называют материнским нуклидом (parent nuclide); нуклид, образующийся в результате распада, — дочерним нуклидом (daughter nuclide). Дочерний нуклид может быть устойчивым, а может и сам распадаться. Излучение, испускаемое при радиоактивном распаде, таково, что дочерний нуклид располагается ближе к полосе устойчивости, чем материнский, поэтому положение нуклида относительно полосы устойчивости позволяет предсказать тип распада, которому он будет подвергаться (рис. 20.5).

Рис. 20.5. Ядро урана-238 (материнский нуклид) подвергается \(\alpha\)-распаду с образованием тория-234 (дочернего нуклида). Альфа-частица уносит из ядра урана-238 два протона (зелёные) и два нейтрона (серые).

Дополнительно

Хотя сам радиоактивный распад ядра слишком мал, чтобы его можно было увидеть невооружённым глазом, мы можем наблюдать его косвенно — в установке, называемой камерой Вильсона (cloud chamber). Перейдите по ссылке (http://openstax.org/l/16cloudchamb), чтобы узнать о камерах Вильсона и посмотреть демонстрационный опыт Jefferson Lab.

Типы радиоактивного распада

Опыты Эрнеста Резерфорда по взаимодействию излучения с магнитным или электрическим полем (рис. 20.6) позволили ему установить, что один вид излучения состоит из положительно заряженных и относительно массивных \(\alpha\)-частиц; второй — из отрицательно заряженных и значительно более лёгких \(\beta\)-частиц; а третий представляет собой незаряженные электромагнитные волны — \(\gamma\)-лучи. Сегодня мы знаем, что \(\alpha\)-частицы — это высокоэнергетические ядра гелия, \(\beta\)-частицы — высокоэнергетические электроны, а \(\gamma\)-излучение — высокоэнергетическое электромагнитное излучение. Различные виды радиоактивного распада классифицируют по типу испускаемого излучения.

Рис. 20.6. Альфа-частицы притягиваются к отрицательной пластине и отклоняются на сравнительно небольшой угол — значит, они положительно заряжены и относительно массивны. Бета-частицы притягиваются к положительной пластине и отклоняются значительно сильнее — значит, они отрицательно заряжены и существенно легче. Гамма-лучи не отклоняются электрическим полем — значит, они не заряжены.

Альфа-распад (\(\alpha\)-распад) (alpha decay) — испускание \(\alpha\)-частицы ядром. Например, полоний-210 претерпевает \(\alpha\)-распад:

\[ \ce{^{210}_{84}Po -> ^{4}_{2}He + ^{206}_{82}Pb} \quad\text{или}\quad \ce{^{210}_{84}Po -> ^{4}_{2}\alpha + ^{206}_{82}Pb} \]

Альфа-распад наблюдается прежде всего у тяжёлых ядер (\(A > 200\), \(Z > 83\)). Поскольку при потере \(\alpha\)-частицы массовое число дочернего нуклида уменьшается на четыре единицы, а атомный номер — на две, отношение \(n{:}p\) у дочернего нуклида оказывается больше, чем у материнского. Если материнский нуклид, претерпевающий \(\alpha\)-распад, лежит ниже полосы устойчивости (см. рис. 20.2), то дочерний окажется ближе к ней.

Бета-распад (\(\beta\)-распад) (beta decay) — испускание электрона из ядра. Иод-131 — пример нуклида, претерпевающего \(\beta\)-распад:

\[ \ce{^{131}_{53}I -> ^{0}_{-1}e + ^{131}_{54}Xe} \quad\text{или}\quad \ce{^{131}_{53}I -> ^{0}_{-1}\beta + ^{131}_{54}Xe} \]

Бета-распад можно рассматривать как превращение нейтрона в протон с испусканием \(\beta\)-частицы; он наблюдается у нуклидов с большим отношением \(n{:}p\). Испущенная \(\beta\)-частица (электрон) рождается в атомном ядре и не относится к электронам, окружающим ядро. Такие ядра лежат выше полосы устойчивости. Испускание электрона не меняет массового числа нуклида, но увеличивает число протонов и уменьшает число нейтронов. В результате отношение \(n{:}p\) уменьшается, и дочерний нуклид оказывается ближе к полосе устойчивости, чем материнский.

Гамма-излучение (\(\gamma\)-излучение) (gamma emission) наблюдается, когда нуклид образуется в возбуждённом состоянии, а затем переходит в основное с испусканием \(\gamma\)-кванта — кванта высокоэнергетического электромагнитного излучения. Возбуждённое состояние ядра часто обозначают звёздочкой (\(*\)). Кобальт-60 испускает \(\gamma\)-излучение и применяется во многих областях, в том числе в лучевой терапии:

\[ \ce{^{60}_{27}Co^{*} -> ^{0}_{0}\gamma + ^{60}_{27}Co} \]

При испускании \(\gamma\)-кванта массовое и атомное числа не меняются, если только \(\gamma\)-излучение не сопровождает один из других видов распада.

Эмиссия позитрона (\(\beta^{+}\)-распад) (positron emission) — испускание ядром позитрона. Кислород-15 — пример нуклида, претерпевающего позитронный распад:

\[ \ce{^{15}_{8}O -> ^{0}_{+1}e + ^{15}_{7}N} \quad\text{или}\quad \ce{^{15}_{8}O -> ^{0}_{+1}\beta + ^{15}_{7}N} \]

Позитронная эмиссия наблюдается у нуклидов, у которых отношение \(n{:}p\) мало. Такие нуклиды лежат ниже полосы устойчивости. Позитронный распад — это превращение протона в нейтрон с испусканием позитрона. Отношение \(n{:}p\) при этом увеличивается, и дочерний нуклид располагается ближе к полосе устойчивости, чем материнский.

Электронный захват (electron capture) происходит, когда один из внутренних электронов атома захватывается ядром. Например, калий-40 претерпевает электронный захват:

\[ \ce{^{40}_{19}K + ^{0}_{-1}e -> ^{40}_{18}Ar} \]

При электронном захвате внутренний электрон соединяется с протоном и превращается в нейтрон. Потеря электрона на внутренней оболочке оставляет вакансию, которую заполняет один из внешних электронов. При переходе внешнего электрона в эту вакансию выделяется энергия, обычно — в виде рентгеновского фотона. Как и позитронная эмиссия, электронный захват наблюдается у «протонно-избыточных» ядер, лежащих ниже полосы устойчивости. На ядро электронный захват действует так же, как и позитронная эмиссия: атомный номер уменьшается на единицу, а массовое число не меняется. В результате отношение \(n{:}p\) увеличивается, и дочерний нуклид оказывается ближе к полосе устойчивости, чем материнский. Какой именно процесс — электронный захват или позитронная эмиссия — реализуется, предсказать трудно. Выбор определяется главным образом кинетическими факторами: предпочтительнее тот процесс, у которого меньше энергия активации.

На рис. 20.7 эти виды распада сведены вместе с их ядерными уравнениями и изменениями массовых и атомных чисел.

Рис. 20.7. Сводная таблица: тип распада, ядерное уравнение, схематическое представление и изменения массового и атомного чисел для различных видов распада.

Химия в повседневной жизни. Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ)

Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ; positron emission tomography, PET) использует излучение для диагностики и отслеживания состояния пациента и контроля проводимого лечения: метод показывает, как функционируют те или иные участки тела (рис. 20.8). Для проведения ПЭТ-сканирования в циклотроне получают позитрон-излучающий радиоизотоп и затем «прикрепляют» его к веществу, активно используемому исследуемым участком тела. Это «меченое» соединение, или радиотрейсер, вводится пациенту (внутривенно или в виде вдыхаемого газа), и то, как ткани его используют, показывает, как работает соответствующий орган или иной участок тела.

Рис. 20.8. (а) ПЭТ-сканер использует излучение для получения изображения, показывающего работу части тела пациента. Такие сканы можно использовать для визуализации здорового мозга (б) или для диагностики таких состояний, как болезнь Альцгеймера (в). (Снимок а: модификация работы Jens Maus.)

Например, \(\ce{^{18}F}\) получают бомбардировкой \(\ce{^{18}O}\) протонами:

\[ \ce{^{18}_{8}O + ^{1}_{1}p -> ^{18}_{9}F + ^{1}_{0}n} \]

и включают его в аналог глюкозы — фтордезоксиглюкозу (fludeoxyglucose, FDG). То, как ткани используют FDG, даёт ценную диагностическую информацию: например, поскольку опухолевые клетки потребляют глюкозу не так, как здоровые ткани, FDG позволяет выявлять рак. Ядро \(\ce{^{18}F}\) испускает позитроны, которые взаимодействуют с электронами поблизости и приводят к вспышке \(\gamma\)-излучения. Эту энергию регистрирует сканер и преобразует в детальное трёхмерное цветное изображение, показывающее работу соответствующего участка тела. Разные уровни \(\gamma\)-излучения дают разную яркость и цветовую окраску на изображении, которые радиолог расшифровывает. ПЭТ позволяет выявлять повреждения и заболевания сердца, помогает диагностировать болезнь Альцгеймера, указывать участок мозга, поражённый эпилепсией, обнаруживать рак, определять его стадию и степень распространения, а также эффективность лечения. В отличие от магнитно-резонансной томографии и рентгена, которые показывают лишь анатомическое строение, преимущество ПЭТ в том, что она показывает функцию. Сегодня ПЭТ, как правило, проводят совместно с компьютерной томографией.

Радиоактивные ряды (ряды распада)

Природные радиоактивные изотопы самых тяжёлых элементов образуют цепочки последовательных превращений, или распадов; совокупность нуклидов в такой цепочке составляет радиоактивное семейство, или радиоактивный ряд (ряд распада) (radioactive decay series). Три из этих рядов охватывают большинство встречающихся в природе радиоактивных элементов таблицы Менделеева: это урановый ряд, актиниевый ряд и ториевый ряд. Четвёртый — нептуниевый ряд — на Земле уже не имеет существенного значения из-за короткого периода полураспада входящих в него нуклидов. Каждый ряд начинается с материнского (первого) нуклида с большим периодом полураспада и заканчивается через цепочку дочерних нуклидов устойчивым конечным продуктом — нуклидом, лежащим на полосе устойчивости (рис. 20.9). Во всех трёх «природных» рядах конечным продуктом является устойчивый изотоп свинца. Нептуниевый ряд, который ранее считали заканчивающимся на висмуте-209, заканчивается, как теперь установлено, на таллии-205.

Рис. 20.9. Уран-238 претерпевает радиоактивный ряд распада из 14 отдельных шагов, прежде чем образуется устойчивый свинец-206. Этот ряд состоит из восьми \(\alpha\)-распадов и шести \(\beta\)-распадов.

Периоды полураспада

Радиоактивный распад подчиняется кинетике первого порядка. Поскольку реакции первого порядка уже подробно рассмотрены в главе по кинетике, мы применим эти результаты к реакциям ядерного распада. У каждого радиоактивного нуклида есть характерная постоянная — период полураспада (\(t_{1/2}\)) (half-life), то есть время, за которое распадается половина атомов образца. Зная период полураспада изотопа, можно определить, как долго пригоден для использования образец полезного изотопа или как долго необходимо хранить образец нежелательного либо опасного изотопа, прежде чем его активность снизится до безопасного уровня.

Например, кобальт-60 — изотоп, испускающий \(\gamma\)-лучи, применяемые для лечения рака, — имеет период полураспада \(5{,}27\) года (рис. 20.10). В источнике кобальта-60 половина ядер \(\ce{^{60}_{27}Co}\) распадается каждые \(5{,}27\) года, поэтому и количество вещества, и интенсивность испускаемого им излучения уменьшаются вдвое каждые \(5{,}27\) года. (Заметим, что для данного вещества интенсивность производимого им излучения прямо пропорциональна скорости распада вещества и его количеству.) Так и должно быть для процесса, подчиняющегося кинетике первого порядка. Поэтому источник кобальта-60, применяемый для лучевой терапии, приходится регулярно заменять, чтобы он оставался эффективным.

Рис. 20.10. Для кобальта-60 с периодом полураспада \(5{,}27\) года после \(5{,}27\) года (один период полураспада) остаётся \(50\,\%\), после \(10{,}54\) года (два периода) — \(25\,\%\), после \(15{,}81\) года (три периода) — \(12{,}5\,\%\) и так далее.

Поскольку ядерный распад подчиняется кинетике первого порядка, мы можем использовать математические соотношения, выведенные для химических реакций первого порядка. Вместо концентрации обычно подставляют число ядер \(N\). Если скорость выражена в числе распадов в секунду, её называют активностью (activity) радиоактивного образца. Скорость радиоактивного распада записывается как:

\[ \text{скорость распада} = \lambda N, \]

где \(\lambda\) — константа распада (decay constant) для конкретного радиоизотопа.

Константа распада \(\lambda\) — это та же величина, что и константа скорости в главе по кинетике. Её можно выразить через период полураспада \(t_{1/2}\):

\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{t_{1/2}} \qquad\text{или}\qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{\lambda}. \]

Уравнения первого порядка, связывающие число ядер \(N\) и время \(t\):

\[ N_t = N_0\, e^{-\lambda t} \qquad\text{или}\qquad t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right), \]

где \(N_0\) — начальное число ядер (или молей) изотопа, а \(N_t\) — число ядер (молей), оставшееся в момент времени \(t\). В примере 20.5 эти уравнения применяются для расчёта скоростей радиоактивного распада конкретных нуклидов.

Пример 20.5. Скорости радиоактивного распада

\(\ce{^{60}_{27}Co}\) распадается с периодом полураспада \(5{,}27\) года, образуя \(\ce{^{60}_{28}Ni}\).

(а) Какова константа распада для радиоактивного превращения кобальта-60?

(б) Рассчитайте, какая доля образца изотопа \(\ce{^{60}_{27}Co}\) останется через \(15\) лет.

(в) За какое время образец \(\ce{^{60}_{27}Co}\) распадётся настолько, что от исходного количества останется только \(2{,}0\,\%\)?

Решение.

(а) Значение константы скорости определяется выражением:

\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5{,}27\ \text{лет}} = 0{,}132\ \text{лет}^{-1}. \]

(б) Долю \(\ce{^{60}_{27}Co}\), оставшуюся к моменту времени \(t\), можно записать как \(\dfrac{N_t}{N_0}\). Преобразуя уравнение первого порядка \(N_t = N_0 e^{-\lambda t}\) к виду, удобному для отношения:

\[ \frac{N_t}{N_0} = e^{-\lambda t} = e^{-(0{,}132\ \text{лет}^{-1})(15{,}0\ \text{лет})} = 0{,}138. \]

Доля \(\ce{^{60}_{27}Co}\), оставшаяся через \(15{,}0\) лет, составляет \(0{,}138\). Иначе говоря, через \(15\) лет останется \(13{,}8\,\%\) первоначального количества \(\ce{^{60}_{27}Co}\).

(в) \(2{,}00\,\%\) от исходного количества \(\ce{^{60}_{27}Co}\) равно \(0{,}0200\, N_0\). Подставляя в уравнение для времени реакции первого порядка, получаем:

\[ t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right) = -\frac{1}{0{,}132\ \text{лет}^{-1}}\,\ln\!\left(\frac{0{,}0200\, N_0}{N_0}\right) = 29{,}6\ \text{лет}. \]

Проверь себя. Радон-222, \(\ce{^{222}_{86}Rn}\), имеет период полураспада \(3{,}823\) сут. За какое время образец радона-222 массой \(0{,}750\ \text{г}\) распадётся до других элементов, так что радона-222 останется лишь \(0{,}100\ \text{г}\)?

Ответ: \(11{,}1\ \text{сут}\).

Поскольку у каждого нуклида своё число нуклонов, свой баланс отталкивания и притяжения и своя степень устойчивости, периоды полураспада радиоактивных нуклидов сильно различаются. Например, у \(\ce{^{209}_{83}Bi}\) период полураспада составляет \(1{,}9 \times 10^{19}\) лет; у \(\ce{^{239}_{94}Pu}\) — \(24\,000\) лет; у \(\ce{^{222}_{86}Rn}\) — \(3{,}82\) сут; а у элемента 111 (Rg — рентгений) — \(1{,}5 \times 10^{-3}\ \text{с}\). Периоды полураспада ряда радиоактивных изотопов, важных для медицины, сведены в таблицу 20.2, а другие — в приложении М.

Таблица 20.2. Периоды полураспада важных для медицины радиоактивных изотопов.

Изотоп1	Тип распада	Период полураспада	Применение
F-18	\(\beta^{+}\)-распад	\(110\) мин	ПЭТ-сканирование
Co-60	\(\beta\)-распад, \(\gamma\)-распад	\(5{,}27\) года	лечение рака
Tc-99m	\(\gamma\)-распад	\(8{,}01\) ч	сканирование головного мозга, лёгких, сердца, костей
I-131	\(\beta\)-распад	\(8{,}02\) сут	диагностика и лечение заболеваний щитовидной железы
Tl-201	электронный захват	\(73\) ч	сканирование сердца и артерий; стресс-тесты сердца

Радиометрическое датирование

У ряда радиоизотопов периоды полураспада и другие свойства таковы, что они подходят для целей «датирования» — определения возраста таких объектов, как археологические артефакты, остатки ранее живших организмов или геологические образования. Этот метод называется радиометрическим датированием (radiometric dating); благодаря ему сделано множество революционных научных открытий, касающихся геологической истории Земли, эволюции жизни и истории человеческих цивилизаций. Рассмотрим наиболее распространённые виды радиоактивного датирования и принципы работы соответствующих изотопов.

Радиоактивное датирование по углероду-14

Радиоактивность углерода-14 даёт способ датировать объекты, бывшие частью живого организма. Этот метод радиометрического датирования, называемый также радиоуглеродным датированием (radiocarbon dating) или датированием по углероду-14, надёжно работает для углеродсодержащих веществ возрастом примерно до \(30\,000\) лет, а в благоприятных условиях даёт достаточно точные результаты вплоть до \(50\,000\) лет.

Природный углерод состоит из трёх изотопов: \(\ce{^{12}_{6}C}\), составляющий около \(99\,\%\) углерода на Земле; \(\ce{^{13}_{6}C}\) — около \(1\,\%\); и следовые количества \(\ce{^{14}_{6}C}\). Углерод-14 образуется в верхних слоях атмосферы при взаимодействии ядер азота с нейтронами космических лучей:

\[ \ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}H} \]

Все изотопы углерода реагируют с кислородом, образуя молекулы \(\ce{CO2}\). Отношение \(\ce{^{14}CO2}\) к \(\ce{^{12}CO2}\) в атмосфере определяется отношением \(\ce{^{14}C}\) к \(\ce{^{12}C}\). Естественное содержание \(\ce{^{14}C}\) в атмосфере составляет примерно \(1\) часть на триллион; до недавнего времени оно оставалось практически постоянным во времени, что подтверждается анализом проб газа, законсервированных во льду. Включение \(\ce{^{14}CO2}\) и \(\ce{^{12}CO2}\) в растения — обычная часть процесса фотосинтеза, поэтому отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в живом растении совпадает с этим же отношением в атмосфере. Но когда растение погибает, оно перестаёт улавливать углерод фотосинтезом. Поскольку \(\ce{^{12}C}\) — устойчивый изотоп и радиоактивному распаду не подвергается, его концентрация в растении не меняется. Углерод-14, напротив, распадается путём \(\beta\)-эмиссии с периодом полураспада \(5730\) лет:

\[ \ce{^{14}_{6}C -> ^{14}_{7}N + ^{0}_{-1}e} \]

Таким образом, отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) после гибели растения постепенно уменьшается. Изменение этого отношения со временем даёт меру того, сколько времени прошло с момента гибели растения (или другого организма, питавшегося этим растением). На рис. 20.11 этот процесс показан наглядно.

Рис. 20.11. Вместе с устойчивым углеродом-12 радиоактивный углерод-14 поглощается растениями и животными и поддерживается у них на постоянном уровне в течение всей жизни. После гибели \(\ce{^{14}C}\) распадается, а отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в останках уменьшается. Сравнение этого отношения с отношением \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в живых организмах позволяет определить, как давно жил (и умер) исследуемый организм.

Например, поскольку период полураспада \(\ce{^{14}C}\) составляет \(5730\) лет, то если отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в деревянной находке из археологического раскопа в два раза меньше, чем в живом дереве, значит, возраст находки \(5730\) лет. Очень точные значения отношения \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) можно получить даже на очень малых образцах (до миллиграмма) с помощью масс-спектрометра.

Дополнительно

Перейдите по ссылке (http://openstax.org/l/16phetradiom), чтобы провести симуляции радиометрического датирования.

Пример 20.6. Радиоуглеродное датирование

Крошечный кусочек бумаги (изготовленной из растительного материала), взятый из Свитков Мёртвого моря, показывает активность \(10{,}8\) распада в минуту на грамм углерода. Если начальная активность \(\ce{^{14}C}\) составляла \(13{,}6\) распада в минуту на грамм углерода, оцените возраст этих свитков.

Решение. Скорость распада (число распадов в минуту на грамм углерода) пропорциональна количеству радиоактивного \(\ce{^{14}C}\), оставшегося в бумаге, поэтому скорости можно подставить вместо количеств \(N\) в уравнение:

\[ t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right) \;\longrightarrow\; t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{\text{Скорость}_t}{\text{Скорость}_0}\right), \]

где индекс \(0\) соответствует моменту изготовления бумаги (срезания растений), а индекс \(t\) — текущему моменту.

Константу распада определим по периоду полураспада \(\ce{^{14}C}\), равному \(5730\) лет:

\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730\ \text{лет}} = 1{,}21 \times 10^{-4}\ \text{лет}^{-1}. \]

Подставляя и решая, получаем:

\[ t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{\text{Скорость}_t}{\text{Скорость}_0}\right) = -\frac{1}{1{,}21 \times 10^{-4}\ \text{лет}^{-1}}\,\ln\!\left(\frac{10{,}8\ \text{расп./мин/г C}}{13{,}6\ \text{расп./мин/г C}}\right) = 1910\ \text{лет}. \]

Следовательно, Свиткам Мёртвого моря около \(1900\) лет (рис. 20.12).

Рис. 20.12. Радиоуглеродное датирование показало, что эти страницы *Свитков Мёртвого моря были написаны или переписаны на бумаге, изготовленной из растений, погибших в промежутке между \(100\ \text{г. до н. э.}\) и \(50\ \text{г. н. э.}\)*

Проверь себя. В последнее время более точные датировки правления древнеегипетских фараонов получены по растениям, сохранившимся в гробницах. Образцы семян и растительного материала из гробницы Тутанхамона имеют скорость \(\ce{^{14}C}\)-распада \(9{,}07\) распада в минуту на грамм углерода. Сколько лет назад завершилось правление Тутанхамона?

Ответ: около \(3350\) лет назад, или примерно в \(1340\ \text{г. до н. э.}\)

Существуют, однако, заметные и хорошо задокументированные изменения отношения \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\). Прямолинейное применение этого метода точно работает лишь при условии, что отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в живом растении сегодня такое же, как и в прежние эпохи, а это не всегда так. Из-за всё более активного накопления молекул \(\ce{CO2}\) в атмосфере при сжигании ископаемого топлива (в котором практически весь \(\ce{^{14}C}\) уже распался) отношение \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в атмосфере, вероятно, меняется. Это антропогенное увеличение \(\ce{^{12}C}\) в атмосфере приводит к уменьшению отношения \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\), что, в свою очередь, отражается на отношении \(\ce{^{14}C}/\ce{^{12}C}\) в современных живых организмах. К счастью, для расчёта поправок можно использовать другие данные — например, датировку деревьев по годичным кольцам. С такими поправками точные даты получаются. В целом радиоактивное датирование работает на интервал примерно до \(10\) периодов полураспада; поэтому предельный возраст, доступный радиоуглеродному методу, — около \(57\,000\) лет.

Радиоактивное датирование по нуклидам, отличным от углерода-14

Для датирования более ранних событий используют и другие радиоактивные нуклиды с более длинными периодами полураспада. Например, уран-238 (распадающийся через серию шагов в свинец-206) применяют для определения возраста горных пород (в том числе для оценки возраста древнейших пород Земли). Поскольку период полураспада U-238 составляет \(4{,}5\) млрд лет, именно столько времени требуется, чтобы половина исходного U-238 распалась в Pb-206. В образце породы, не содержащем заметных количеств Pb-208 (самого распространённого изотопа свинца), можно полагать, что в момент образования породы свинца не было. Тогда, измерив и проанализировав отношение U-238 : Pb-206, можно определить возраст породы. При этом предполагается, что весь Pb-206 в породе появился в результате распада U-238. Если в образце есть и другие изотопы свинца, что указывает на дополнительные источники Pb-206, необходимо вносить поправку. Калий-аргоновый метод работает аналогично: K-40 распадается путём позитронной эмиссии и электронного захвата в Ar-40 с периодом полураспада \(1{,}25\) млрд лет. Если раздробить образец породы и измерить количество выделяющегося газа Ar-40, то отношение Ar-40 : K-40 позволяет определить её возраст. На том же принципе основаны и другие методы — например, рубидий-стронциевое датирование (Rb-87 распадается в Sr-87 с периодом полураспада \(48{,}8\) млрд лет). Чтобы оценить нижнюю границу возраста Земли, учёные датируют различные горные породы и минералы, исходя из того, что Земля старше самых древних пород и минералов своей коры. По состоянию на \(2014\) год самыми древними известными породами на Земле считаются цирконы из Jack Hills (Австралия) с возрастом, определённым уран-свинцовым методом, почти \(4{,}4\) млрд лет.

Пример 20.7. Радиоактивное датирование горных пород

Магматическая порода содержит \(9{,}58 \times 10^{-5}\ \text{г}\) U-238 и \(2{,}51 \times 10^{-5}\ \text{г}\) Pb-206, а Pb-208 — в значительно меньших количествах. Определите приблизительный возраст породы.

Решение. Порода содержит очень мало Pb-208, самого распространённого изотопа свинца, поэтому можно с достаточным основанием полагать, что весь Pb-206 в породе образовался при радиоактивном распаде U-238. В момент образования порода содержала весь нынешний U-238, а также тот U-238, который с тех пор распался.

Количество U-238, находящееся в породе сейчас:

\[ 9{,}58 \times 10^{-5}\ \text{г U} \times \frac{1\ \text{моль U}}{238\ \text{г U}} = 4{,}03 \times 10^{-7}\ \text{моль U}. \]

Поскольку при распаде одного моля U-238 образуется один моль Pb-206, количество U-238, распавшееся с момента образования породы, равно:

\[ 2{,}51 \times 10^{-5}\ \text{г Pb} \times \frac{1\ \text{моль Pb}}{206\ \text{г Pb}} \times \frac{1\ \text{моль U}}{1\ \text{моль Pb}} = 1{,}22 \times 10^{-7}\ \text{моль U}. \]

Тогда полное количество U-238, первоначально содержавшегося в породе:

\[ 4{,}03 \times 10^{-7}\ \text{моль U} + 1{,}22 \times 10^{-7}\ \text{моль U} = 5{,}25 \times 10^{-7}\ \text{моль U}. \]

Время, прошедшее с момента образования породы, находим из уравнения:

\[ t = -\frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{N_t}{N_0}\right), \]

где \(N_0\) — исходное количество U-238, а \(N_t\) — текущее.

U-238 распадается в Pb-206 с периодом полураспада \(4{,}5 \times 10^{9}\) лет, поэтому константа распада \(\lambda\) равна:

\[ \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{4{,}5 \times 10^{9}\ \text{лет}} = 1{,}54 \times 10^{-10}\ \text{лет}^{-1}. \]

Подставляя и решая, получаем:

\[ t = -\frac{1}{1{,}54 \times 10^{-10}\ \text{лет}^{-1}}\,\ln\!\left(\frac{4{,}03 \times 10^{-7}\ \text{моль U}}{5{,}25 \times 10^{-7}\ \text{моль U}}\right) = 1{,}7 \times 10^{9}\ \text{лет}. \]

Следовательно, возраст породы — приблизительно \(1{,}7\) млрд лет.

Проверь себя. Образец породы содержит \(6{,}14 \times 10^{-4}\ \text{г}\) Rb-87 и \(3{,}51 \times 10^{-5}\ \text{г}\) Sr-87. Рассчитайте возраст породы. (Период полураспада \(\beta\)-распада Rb-87 — \(4{,}7 \times 10^{10}\) лет.)

Ответ: \(3{,}7 \times 10^{9}\) лет.

---

1. «m» в обозначении Tc-99m означает «метастабильное» (metastable) состояние: это неустойчивое высокоэнергетическое состояние Tc-99. Метастабильные изотопы испускают \(\gamma\)-излучение, чтобы избавиться от избыточной энергии и перейти в (более) устойчивое состояние. ↩