20.1 Строение ядра и стабильность (Nuclear Structure and Stability)

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• описывать строение ядра в терминах протонов, нейтронов и электронов;
• вычислять дефект массы и энергию связи ядра;
• объяснять закономерности относительной стабильности ядер.

Ядерная химия (nuclear chemistry) — это изучение реакций, которые сопровождаются изменением строения ядра. В главе об атомах, молекулах и ионах уже было дано базовое представление о строении ядра: ядро атома состоит из протонов и (за исключением \(\ce{^{1}_{1}H}\)) из нейтронов. Напомним, что число протонов в ядре называют атомным номером (atomic number) \(Z\) элемента, а сумму числа протонов и числа нейтронов — массовым числом (mass number) \(A\). Атомы с одинаковым атомным номером, но с разными массовыми числами являются изотопами (isotopes) одного и того же элемента. Когда речь идёт об отдельном типе ядра, часто употребляют термин нуклид (nuclide) и обозначают его записью \(\ce{^{A}_{Z}X}\), где X — символ элемента, \(A\) — массовое число, \(Z\) — атомный номер (например, \(\ce{^{14}_{6}C}\)). Часто нуклид указывают также по названию элемента с дефисом и массовым числом — например, \(\ce{^{14}_{6}C}\) называют «углерод-14».

Протоны и нейтроны, которых вместе называют нуклонами (nucleons), плотно упакованы в ядре. Радиус ядра составляет около \(10^{-15}\ \text{м}\), что очень мало по сравнению с радиусом всего атома (около \(10^{-10}\ \text{м}\)). Ядра имеют исключительно большую плотность по сравнению с обычным веществом: в среднем около \(1{,}8 \times 10^{14}\ \text{г/см}^3\). Для сравнения, плотность воды равна \(1\ \text{г/см}^3\), а иридий — один из самых плотных известных элементов — имеет плотность \(22{,}6\ \text{г/см}^3\). Если бы плотность Земли была равна средней плотности ядра, радиус Земли составлял бы лишь около 200 м (тогда как фактический радиус Земли — приблизительно \(6{,}4 \times 10^{6}\ \text{м}\), то есть в 30 000 раз больше). Пример 20.1 показывает, насколько большими могут быть ядерные плотности в природных объектах.

Пример 20.1. Плотность нейтронной звезды

Задача. Нейтронные звёзды образуются, когда ядро очень массивной звезды испытывает гравитационный коллапс, а её внешние слои выбрасываются в ходе взрыва сверхновой. Состоящие почти полностью из нейтронов, они являются самыми плотными известными звёздами во Вселенной, и их плотность сравнима со средней плотностью атомного ядра. Нейтронная звезда в одной из далёких галактик имеет массу, равную 2,4 массы Солнца (\(1\ M_\odot = M_\odot = \text{масса Солнца} = 1{,}99 \times 10^{30}\ \text{кг}\)), и диаметр 26 км.

(а) Какова плотность этой нейтронной звезды?

(б) Как соотносится плотность этой нейтронной звезды с плотностью ядра урана, диаметр которого составляет около 15 фм (\(1\ \text{фм} = 10^{-15}\ \text{м}\))?

Решение. И нейтронную звезду, и ядро \(\ce{^{235}U}\) можно рассматривать как шары. Тогда плотность в обоих случаях определяется формулой:

\[ d = \frac{m}{V} \quad \text{где} \quad V = \frac{4}{3}\pi r^{3} \]

(а) Радиус нейтронной звезды равен \(\tfrac{1}{2}\times 26\ \text{км} = \tfrac{1}{2}\times 2{,}6 \times 10^{4}\ \text{м} = 1{,}3 \times 10^{4}\ \text{м}\), поэтому плотность нейтронной звезды равна:

\[ d = \frac{m}{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}} = \frac{2{,}4\,(1{,}99 \times 10^{30}\ \text{кг})}{\tfrac{4}{3}\pi\,(1{,}3 \times 10^{4}\ \text{м})^{3}} = 5{,}2 \times 10^{17}\ \text{кг/м}^{3} \]

(б) Радиус ядра \(\ce{^{235}U}\) равен \(\tfrac{1}{2}\times 15 \times 10^{-15}\ \text{м} = 7{,}5 \times 10^{-15}\ \text{м}\), поэтому плотность ядра \(\ce{^{235}U}\) равна:

\[ d = \frac{m}{\tfrac{4}{3}\pi r^{3}} = \frac{235\ \text{а.\,е.\,м.}\,\left(\dfrac{1{,}66 \times 10^{-27}\ \text{кг}}{1\ \text{а.\,е.\,м.}}\right)}{\tfrac{4}{3}\pi\,(7{,}5 \times 10^{-15}\ \text{м})^{3}} = 2{,}2 \times 10^{17}\ \text{кг/м}^{3} \]

Эти значения близки (один и тот же порядок величины), однако нейтронная звезда более чем вдвое плотнее ядра \(\ce{^{235}U}\).

Проверь себя. Найдите плотность нейтронной звезды массой 1,97 массы Солнца и диаметром 13 км и сравните её с плотностью ядра водорода диаметром 1,75 фм (\(1\ \text{фм} = 1 \times 10^{-15}\ \text{м}\)).

Ответ: плотность нейтронной звезды равна \(3{,}4 \times 10^{18}\ \text{кг/м}^{3}\). Плотность ядра водорода равна \(6{,}0 \times 10^{17}\ \text{кг/м}^{3}\). Нейтронная звезда в 5,7 раза плотнее ядра водорода.

Чтобы удерживать положительно заряженные протоны вместе в очень малом объёме ядра, требуются очень сильные силы притяжения, поскольку на таких малых расстояниях положительно заряженные протоны сильно отталкиваются друг от друга. Сила притяжения, удерживающая ядро как целое, называется сильным ядерным взаимодействием (strong nuclear force). (Сильное взаимодействие — одно из четырёх известных фундаментальных взаимодействий. Остальные три — электромагнитное взаимодействие, гравитационное взаимодействие и слабое ядерное взаимодействие.) Эта сила действует между протонами, между нейтронами и между протонами и нейтронами. Она существенно отличается от электростатической силы, удерживающей отрицательно заряженные электроны вокруг положительно заряженного ядра (притяжение между разноимёнными зарядами). На расстояниях меньше \(10^{-15}\ \text{м}\) и внутри ядра сильное ядерное взаимодействие гораздо сильнее электростатического отталкивания между протонами; на больших расстояниях и вне ядра оно практически отсутствует.

Дополнительно

Для дополнительной информации о четырёх фундаментальных взаимодействиях посетите этот сайт.

Энергия связи ядра

В качестве простого примера энергии, связанной с сильным ядерным взаимодействием, рассмотрим атом гелия, состоящий из двух протонов, двух нейтронов и двух электронов. Суммарную массу этих шести субатомных частиц можно вычислить так:

\[ \underbrace{(2 \times 1{,}0073\ \text{а.\,е.\,м.})}_{\text{протоны}} + \underbrace{(2 \times 1{,}0087\ \text{а.\,е.\,м.})}_{\text{нейтроны}} + \underbrace{(2 \times 0{,}00055\ \text{а.\,е.\,м.})}_{\text{электроны}} = 4{,}0331\ \text{а.\,е.\,м.} \]

Однако измерения масс методом масс-спектрометрии показывают, что масса атома \(\ce{^{4}_{2}He}\) составляет \(4{,}0026\) а. е. м., то есть меньше суммы масс шести составляющих его субатомных частиц. Эта разность между расчётной и экспериментально измеренной массами называется дефектом массы (mass defect) атома. В случае гелия дефект массы соответствует «потере» массы, равной \(4{,}0331\ \text{а.\,е.\,м.} - 4{,}0026\ \text{а.\,е.\,м.} = 0{,}0305\ \text{а.\,е.\,м.}\) Потеря массы при образовании атома из протонов, нейтронов и электронов обусловлена превращением этой массы в энергию, выделяющуюся при образовании атома. Энергией связи ядра (nuclear binding energy) называют энергию, выделяющуюся при связывании нуклонов в ядре; она же равна энергии, необходимой для разделения ядра на составляющие его протоны и нейтроны. По сравнению с энергиями химических связей энергии связи ядра несоизмеримо больше, как мы убедимся в этом разделе. Поэтому и энергетические изменения, сопровождающие ядерные реакции, во много раз превосходят таковые для химических реакций.

Связь массы и энергии наиболее наглядно выражает уравнение эквивалентности массы и энергии (mass-energy equivalence equation), сформулированное Альбертом Эйнштейном:

\[ E = mc^{2} \]

где \(E\) — энергия, \(m\) — масса превращающегося вещества, \(c\) — скорость света в вакууме. Это уравнение можно использовать для определения количества энергии, выделяющейся при превращении массы в энергию. С помощью этого соотношения энергию связи ядра можно вычислить из его дефекта массы, как показано в Примере 20.2. Для ядерных энергий связи используют ряд единиц, в том числе электрон-вольт (electron volt, эВ); 1 эВ равен энергии, необходимой для перемещения заряда одного электрона через разность электрических потенциалов в 1 В, то есть \(1\ \text{эВ} = 1{,}602 \times 10^{-19}\ \text{Дж}\).

Пример 20.2. Расчёт энергии связи ядра

Задача. Определите энергию связи для нуклида \(\ce{^{4}_{2}He}\):

(а) в джоулях на моль ядер;

(б) в джоулях на одно ядро;

(в) в МэВ на одно ядро.

Решение. Дефект массы для ядра \(\ce{^{4}_{2}He}\) равен \(0{,}0305\) а. е. м., как было показано выше. Определим энергию связи в джоулях на нуклид, используя уравнение эквивалентности массы и энергии. Чтобы получить требуемые единицы энергии, дефект массы необходимо выразить в килограммах (напомним, что \(1\ \text{Дж} = 1\ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2}\)).

(а) Сначала выразим дефект массы в г/моль. Это легко сделать, учитывая численное равенство атомной массы (а. е. м.) и молярной массы (г/моль), вытекающее из определений а. е. м. и моля (при необходимости обратитесь к соответствующему обсуждению в главе об атомах, молекулах и ионах). Таким образом, дефект массы равен \(0{,}0305\ \text{г/моль}\). Чтобы согласовать единицы с другими членами уравнения эквивалентности массы и энергии, массу нужно выразить в кг, поскольку \(1\ \text{Дж} = 1\ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2}\). Переводя граммы в килограммы, получаем дефект массы \(3{,}05 \times 10^{-5}\ \text{кг/моль}\). Подставляя это значение в уравнение эквивалентности массы и энергии, получаем:

\[ \begin{aligned} E &= mc^{2} = \frac{3{,}05 \times 10^{-5}\ \text{кг}}{\text{моль}} \times \left(\frac{2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м}}{\text{с}}\right)^{2}\\ &= 2{,}74 \times 10^{12}\ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}\cdot\text{с}^{-2}\cdot\text{моль}^{-1} = 2{,}74 \times 10^{12}\ \text{Дж/моль} \end{aligned} \]

Обратите внимание, что эта огромная энергия соответствует превращению очень малого количества вещества (около 30 мг — примерно масса типичной капли воды).

(б) Энергию связи одного ядра вычисляют из мольной энергии связи с помощью числа Авогадро:

\[ E = 2{,}74 \times 10^{12}\ \text{Дж/моль} \times \frac{1\ \text{моль}}{6{,}022 \times 10^{23}\ \text{ядер}} = 4{,}55 \times 10^{-12}\ \text{Дж} = 4{,}55\ \text{пДж} \]

(в) Напомним, что \(1\ \text{эВ} = 1{,}602 \times 10^{-19}\ \text{Дж}\). Используя энергию связи, вычисленную в п. (б):

\[ E = 4{,}55 \times 10^{-12}\ \text{Дж} \times \frac{1\ \text{эВ}}{1{,}602 \times 10^{-19}\ \text{Дж}} = 2{,}84 \times 10^{7}\ \text{эВ} = 28{,}4\ \text{МэВ} \]

Проверь себя. Какова энергия связи для нуклида \(\ce{^{19}_{9}F}\) (атомная масса: \(18{,}9984\) а. е. м.) в МэВ на одно ядро?

Ответ: \(148{,}4\) МэВ.

Поскольку изменения энергии при разрыве и образовании химических связей очень малы по сравнению с изменениями энергии при разрушении или образовании ядер, изменения массы при всех обычных химических реакциях практически невозможно зафиксировать. Как было показано в главе о термохимии, наиболее энергичные химические реакции имеют энтальпии порядка тысяч кДж/моль, что соответствует разностям масс в нанограммовом диапазоне (\(10^{-9}\ \text{г}\)). В то же время энергии связи ядер обычно имеют порядок миллиардов кДж/моль, что соответствует разностям масс в миллиграммовом диапазоне (\(10^{-3}\ \text{г}\)).

Стабильность ядер

Ядро стабильно, если оно не может быть переведено в другую конфигурацию без подвода энергии извне. Из тысяч существующих нуклидов стабильными являются около 250. График зависимости числа нейтронов от числа протонов для стабильных ядер показывает, что стабильные изотопы располагаются в узкой полосе. Эту область называют полосой стабильности (band of stability; также её именуют поясом, зоной или долиной стабильности). Прямая линия на рис. 20.2 соответствует ядрам, у которых отношение числа протонов к числу нейтронов равно \(1{:}1\) (отношение \(n{:}p\)). Обратите внимание, что лёгкие стабильные ядра, как правило, содержат равные числа протонов и нейтронов. Например, ядро азота-14 содержит семь протонов и семь нейтронов. Однако более тяжёлые стабильные ядра содержат всё больше нейтронов по сравнению с протонами. Например, у железа-56 — 30 нейтронов и 26 протонов, отношение \(n{:}p = 1{,}15\), а у стабильного нуклида свинца-207 — 125 нейтронов и 82 протона, отношение \(n{:}p = 1{,}52\). Это связано с тем, что в более крупных ядрах сильнее проявляется протон-протонное отталкивание и требуется большее число нейтронов, чтобы создать компенсирующие силы сильного взаимодействия, преодолевающие эти электростатические отталкивания и удерживающие ядро как целое.

Рис. 20.2. На графике показаны известные нуклиды и те из них, которые являются стабильными. Стабильные нуклиды выделены синим цветом, нестабильные — зелёным. Заметим, что все изотопы элементов с атомными номерами больше 83 нестабильны. Сплошная линия соответствует условию \(n = Z\).

Ядра, находящиеся слева или справа от полосы стабильности, нестабильны и проявляют радиоактивность (radioactivity). Они самопроизвольно превращаются (распадаются) в другие ядра, лежащие либо в полосе стабильности, либо ближе к ней. Эти реакции ядерного распада переводят один нестабильный изотоп (или радиоизотоп — radioisotope) в другой, более стабильный изотоп. Природу и продукты этого радиоактивного распада мы рассмотрим в последующих разделах настоящей главы.

Относительно связи между стабильностью ядра и его строением можно сделать ряд наблюдений. Ядра с чётным числом протонов, нейтронов или того и другого с большей вероятностью являются стабильными (см. табл. 20.1). Ядра, содержащие определённые числа нуклонов, известные как магические числа (magic numbers), устойчивы к ядерному распаду. Этими числами протонов или нейтронов (2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126) завершаются заполненные оболочки в ядре. По смыслу они аналогичны устойчивым электронным оболочкам, наблюдаемым у благородных газов. Ядра, у которых магическими являются как число протонов, так и число нейтронов, — например, \(\ce{^{4}_{2}He}\), \(\ce{^{16}_{8}O}\), \(\ce{^{40}_{20}Ca}\) и \(\ce{^{208}_{82}Pb}\), — называют «дважды магическими» (double magic), и они особенно стабильны. Эти закономерности ядерной стабильности можно объяснить, рассматривая квантовомеханическую модель энергетических состояний ядра, аналогичную той, что использовалась ранее в этой книге для описания электронных состояний. Детали этой модели выходят за рамки данной главы.

Таблица 20.1. Стабильные ядерные изотопы

Число стабильных изотопов	Число протонов	Число нейтронов
157	чётное	чётное
53	чётное	нечётное
50	нечётное	чётное
5	нечётное	нечётное

Относительная стабильность ядра связана с его энергией связи на нуклон (binding energy per nucleon) — полной энергией связи ядра, делённой на число нуклонов в ядре. Например, в Примере 20.2 мы получили, что энергия связи ядра \(\ce{^{4}_{2}He}\) равна \(28{,}4\) МэВ. Тогда энергия связи на нуклон для ядра \(\ce{^{4}_{2}He}\) составляет:

\[ \frac{28{,}4\ \text{МэВ}}{4\ \text{нуклона}} = 7{,}10\ \text{МэВ/нуклон} \]

В Примере 20.3 показано, как вычислить энергию связи на нуклон для нуклида, лежащего на кривой на рис. 20.3.

Рис. 20.3. Энергия связи на нуклон максимальна для нуклидов с массовым числом примерно 56.

Пример 20.3. Расчёт энергии связи на нуклон

Задача. Нуклид железа \(\ce{^{56}_{26}Fe}\) располагается вблизи вершины кривой энергии связи (рис. 20.3) и является одним из самых стабильных нуклидов. Какова энергия связи на нуклон (в МэВ) для нуклида \(\ce{^{56}_{26}Fe}\) (атомная масса \(55{,}9349\) а. е. м.)?

Решение. Как и в Примере 20.2, сначала определим дефект массы нуклида, равный разности между массой 26 протонов, 30 нейтронов и 26 электронов и наблюдаемой массой атома \(\ce{^{56}_{26}Fe}\):

\[ \begin{aligned} \text{Дефект массы} &= [(26 \times 1{,}0073\ \text{а.\,е.\,м.}) + (30 \times 1{,}0087\ \text{а.\,е.\,м.}) + (26 \times 0{,}00055\ \text{а.\,е.\,м.})] - 55{,}9349\ \text{а.\,е.\,м.}\\ &= 56{,}4651\ \text{а.\,е.\,м.} - 55{,}9349\ \text{а.\,е.\,м.}\\ &= 0{,}5302\ \text{а.\,е.\,м.} \end{aligned} \]

Далее рассчитаем энергию связи одного ядра из дефекта массы по уравнению эквивалентности массы и энергии:

\[ \begin{aligned} E &= mc^{2} = 0{,}5302\ \text{а.\,е.\,м.} \times \frac{1{,}6605 \times 10^{-27}\ \text{кг}}{1\ \text{а.\,е.\,м.}} \times (2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м/с})^{2}\\ &= 7{,}913 \times 10^{-11}\ \text{кг}\cdot\text{м}^{2}/\text{с}^{2}\\ &= 7{,}913 \times 10^{-11}\ \text{Дж} \end{aligned} \]

Переведём энергию связи из джоулей на одно ядро в МэВ на нуклид:

\[ 7{,}913 \times 10^{-11}\ \text{Дж} \times \frac{1\ \text{МэВ}}{1{,}602 \times 10^{-13}\ \text{Дж}} = 493{,}9\ \text{МэВ} \]

Наконец, определим энергию связи на нуклон, разделив полную ядерную энергию связи на число нуклонов в атоме:

\[ \frac{493{,}9\ \text{МэВ}}{56\ \text{нуклонов}} = 8{,}820\ \text{МэВ/нуклон} \]

Заметим, что это значение почти на 25 % больше энергии связи на нуклон для \(\ce{^{4}_{2}He}\).

(Заметим также, что ход вычислений тот же, что и в Примере 20.1, но с дополнительным шагом — делением полной ядерной энергии связи на число нуклонов.)

Проверь себя. Какова энергия связи на нуклон в \(\ce{^{19}_{9}F}\) (атомная масса \(18{,}9984\) а. е. м.)?

Ответ: \(7{,}810\) МэВ/нуклон.