3.1 Электромагнитная энергия (Electromagnetic Energy)

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• объяснить основные свойства волн, включая бегущие и стоячие волны;
• описать волновую природу света;
• использовать соответствующие уравнения для расчёта связанных характеристик световых волн — периода, частоты, длины волны и энергии;
• различать линейчатые и непрерывные спектры испускания;
• описать корпускулярную природу света.

---

Природа света была предметом исследований ещё с глубокой древности. В XVII веке Исаак Ньютон (Isaac Newton), ставя опыты с линзами и призмами, показал, что белый свет состоит из совокупности отдельных цветов радуги. Свои оптические открытия Ньютон объяснял с позиций «корпускулярного» представления о свете, согласно которому свет состоит из потоков чрезвычайно малых частиц, движущихся с большими скоростями по законам механики Ньютона. Другие учёные XVII века, в частности Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens), показали, что оптические явления — отражение и преломление — столь же хорошо объясняются представлением о свете как о волнах, распространяющихся с большой скоростью через среду, называвшуюся «светоносным эфиром» и якобы заполнявшую всё пространство. В начале XIX века Томас Юнг (Thomas Young) продемонстрировал, что свет, проходящий через узкие близко расположенные щели, образует интерференционные картины, которые невозможно объяснить с помощью ньютоновских частиц, но легко описать в рамках волновой теории. Позднее в том же столетии Джеймс Клерк Максвелл (James Clerk Maxwell) построил теорию электромагнитного излучения и показал, что свет — это видимая часть обширного спектра электромагнитных волн; после этого корпускулярное представление о свете было полностью отвергнуто. К концу XIX века физический мир рассматривался как состоящий из двух обособленных областей: вещества, состоящего из частиц, движущихся по законам Ньютона, и электромагнитного излучения, представляющего собой волны, подчиняющиеся уравнениям Максвелла. Сегодня эти области называют классической механикой и классической электродинамикой (или классическим электромагнетизмом). Хотя оставалось несколько физических явлений, которые в эти рамки не укладывались, учёные того времени были настолько уверены в фундаментальной правильности этой картины, что считали такие отклонения лишь загадочными парадоксами, которые в конце концов будут разрешены внутри прежней теории. Как мы увидим, именно эти парадоксы привели к современной концепции, на глубоком уровне связывающей частицы и волны и называемой корпускулярно-волновым дуализмом (wave-particle duality); она сменила классические представления.

Видимый свет и другие формы электромагнитного излучения играют важную роль в химии, так как позволяют судить об энергии электронов в атомах и молекулах. На электромагнитном излучении основана значительная часть современных технологий. Например, радиоволны мобильного телефона, рентгеновские лучи, используемые стоматологами, энергия, разогревающая пищу в микроволновой печи, тепловое излучение раскалённых докрасна предметов и свет экрана телевизора — всё это формы электромагнитного излучения, демонстрирующие волновое поведение.

Волны

Волна (wave) — это колебание или периодическое движение, способное переносить энергию из одной точки пространства в другую. Примеры волн окружают нас повсюду. Если потрясти конец верёвки, энергия передаётся от руки к её другому концу; брошенный в пруд камешек порождает волны, расходящиеся по поверхности воды; расширение воздуха при ударе молнии создаёт звуковые волны (гром), которые могут распространяться на несколько километров. В каждом из этих случаев кинетическая энергия передаётся через вещество (верёвку, воду, воздух), но само вещество остаётся практически на месте. Наглядный пример волны — «волна» болельщиков на стадионах: зрители в узкой полосе кресел одновременно встают, на несколько секунд поднимают руки и снова садятся, а зрители в соседних секторах поочерёдно проделывают то же самое. Хотя такая волна способна за несколько секунд обежать весь стадион, ни один из болельщиков не перемещается вместе с ней — все они остаются на своих местах или над ними.

Волны не обязательно должны распространяться через вещество. Как показал Максвелл, электромагнитные волны представляют собой колебания электрического поля, синхронно сопровождаемые колебаниями перпендикулярного ему магнитного поля; оба поля перпендикулярны направлению распространения. Такие волны могут распространяться в вакууме с постоянной скоростью света (speed of light), равной \(c = 2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м}/\text{с}\).

Все волны, в том числе формы электромагнитного излучения, характеризуются длиной волны (wavelength), обозначаемой \(\lambda\) (греческая буква «лямбда»), частотой (frequency), обозначаемой \(\nu\) (греческая буква «ню»), и амплитудой (amplitude). Как видно на Рис. 3.2, длина волны — это расстояние между двумя соседними максимумами (или двумя минимумами) волны (в СИ измеряется в метрах). Длины электромагнитных волн охватывают огромный диапазон — от километров (\(10^{3}\ \text{м}\)) до пикометров (\(10^{-12}\ \text{м}\)). Частота — число полных колебаний (циклов), проходящих через данную точку пространства за единицу времени (в СИ — за секунду). Один цикл соответствует одной полной длине волны. Единицей частоты, выражаемой в циклах в секунду (\(\text{с}^{-1}\)), является герц (Гц). Часто используются кратные единицы: мегагерц (\(1\ \text{МГц} = 1 \times 10^{6}\ \text{Гц}\)) и гигагерц (\(1\ \text{ГГц} = 1 \times 10^{9}\ \text{Гц}\)). Амплитуда соответствует величине отклонения волны от положения равновесия и, как показано на Рис. 3.2, равна половине расстояния между максимумом и минимумом. Амплитуда связана с интенсивностью волны: для света это яркость, для звука — громкость.

Рис. 3.2. Одномерные синусоидальные волны иллюстрируют связь между длиной волны, частотой и скоростью распространения. У волны с наименьшей длиной волны — наибольшая частота. Амплитуда равна половине высоты волны от максимума до минимума.

Произведение длины волны \(\lambda\) на её частоту \(\nu\) равно скорости распространения волны. Таким образом, для электромагнитного излучения в вакууме скорость равна фундаментальной постоянной \(c\):

\[ c = \lambda\nu \]

Длина волны и частота обратно пропорциональны: с ростом длины волны частота уменьшается. Эта обратная пропорциональность иллюстрируется на Рис. 3.3. На том же рисунке показан электромагнитный спектр (electromagnetic spectrum) — совокупность всех видов электромагнитного излучения. Каждому из цветов видимого света соответствуют определённые значения частоты и длины волны; видно, что видимый свет составляет лишь малую часть электромагнитного спектра. Поскольку технологии, разработанные для разных участков электромагнитного спектра, различны, по соображениям удобства и в силу исторических причин для разных областей спектра принято использовать разные единицы. Например, радиоволны обычно характеризуют частотой (как правило, в МГц), а видимую область — длиной волны (как правило, в нм или ангстремах).

Рис. 3.3. Участки электромагнитного спектра расположены в порядке убывания частоты и возрастания длины волны.

Пример 3.1. Определение частоты и длины волны излучения

Задача. Натриевый уличный фонарь излучает жёлтый свет с длиной волны \(589\ \text{нм}\) (\(1\ \text{нм} = 1 \times 10^{-9}\ \text{м}\)). Какова частота этого света?

Решение. Перепишем уравнение \(c = \lambda\nu\) относительно частоты:

\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]

Поскольку \(c\) выражена в метрах в секунду, переведём \(589\ \text{нм}\) в метры:

\[ \lambda = 589\ \text{нм} \times \frac{1 \times 10^{-9}\ \text{м}}{1\ \text{нм}} = 5{,}89 \times 10^{-7}\ \text{м} \]

\[ \nu = \frac{2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м}/\text{с}}{5{,}89 \times 10^{-7}\ \text{м}} = 5{,}09 \times 10^{14}\ \text{с}^{-1} \]

Проверь себя. Одна из частот, на которых в США передают и принимают сигналы сотовой связи, равна \(850\ \text{МГц}\). Какова длина волны этих радиоволн в метрах?

Ответ: \(0{,}353\ \text{м} = 35{,}3\ \text{см}\).

Химия в повседневной жизни. Беспроводная связь

Рис. 3.4. Радиовышки и вышки сотовой связи обычно используются для передачи длинноволнового электромагнитного излучения. Всё чаще такие башни проектируют так, чтобы они вписывались в окружающий ландшафт — например, вышка в Тусоне (штат Аризона), замаскированная под пальму.

Многие важные технологии работают в радиочастотной области электромагнитного спектра (от \(3\ \text{кГц}\) до \(300\ \text{ГГц}\)). В низкочастотной (низкоэнергетической, длинноволновой) части этого диапазона находятся сигналы радиовещания с амплитудной модуляцией (AM, \(540{-}2830\ \text{кГц}\)), которые могут распространяться на большие расстояния. Сигналы частотно-модулированного вещания (FM) используют более высокие частоты (\(87{,}5{-}108{,}0\ \text{МГц}\)). В AM-радио информация передаётся за счёт изменения амплитуды волны (Рис. 3.5). В FM-радио, напротив, амплитуда постоянна, а изменяется мгновенная частота.

Рис. 3.5. Схема, показывающая, как амплитудная модуляция (AM) и частотная модуляция (FM) применяются для передачи радиоволн.

В радиочастотной области электромагнитного спектра работают и другие технологии. Так, сигналы сотовой связи 4G имеют частоту около \(880\ \text{МГц}\), сигналы системы глобального позиционирования (GPS) — \(1{,}228\) и \(1{,}575\ \text{ГГц}\), беспроводные локальные сети (Wi-Fi) — от \(2{,}4\) до \(5\ \text{ГГц}\), а датчики автоматической оплаты на скоростных автодорогах — \(5{,}8\ \text{ГГц}\). Частоты, отвечающие этим приложениям, удобны тем, что такие волны слабо поглощаются обычными строительными материалами.

Особое явление, характерное для волн, возникает при встрече двух или более волн: они интерферируют друг с другом. На Рис. 3.6 показаны интерференционные картины, возникающие при прохождении света через узкие щели, расположенные на расстоянии порядка длины волны друг от друга. Получаемые полосы зависят от длины волны: при меньшей длине волны полосы располагаются гуще. Когда свет проходит через две щели, каждая из них фактически становится новым источником, и в детекторе (в данном случае — камере) встречаются две близко расположенные волны. Тёмные участки на Рис. 3.6 отвечают областям, где максимумы волны от одной щели совпадают с минимумами от другой (деструктивная интерференция), а самые светлые — областям, где совпадают максимумы (или минимумы) обеих волн (конструктивная интерференция). Аналогичные картины видны на воде, если бросить рядом друг с другом два камешка. Такие картины невозможно объяснить с позиций частиц, движущихся по законам классической механики.

Рис. 3.6. Интерференционные полосы, возникающие при прохождении света через две близко расположенные узкие щели. Расстояние между полосами зависит от длины волны: для коротковолнового синего света полосы расположены гуще.

Портрет химика. Дороти Кроуфут Ходжкин

Рентгеновские лучи имеют длины волн примерно \(0{,}01{-}10\ \text{нм}\). Поскольку эти длины волн сопоставимы с расстояниями между атомами в кристаллических телах, при прохождении через кристаллы рентгеновские лучи рассеиваются. Рассеянные лучи испытывают конструктивную и деструктивную интерференцию, что приводит к появлению характерной дифракционной картины. Её измерение позволяет точно определить положения атомов в кристалле. Это явление — рентгеновская дифракция — лежит в основе мощных методов установления молекулярной структуры. Одной из тех, кто применил этот мощный приём к важнейшим биохимическим веществам, была Дороти Кроуфут Ходжкин (Dorothy Crowfoot Hodgkin).

Дороти родилась в Каире (Египет) в 1910 году в семье британцев; интерес к химии в ней пробудился очень рано. В 11 лет её приняли в престижную английскую среднюю школу, где она была одной из всего двух девочек, которым разрешили изучать химию. На её 16-летие мать Молли подарила дочери книгу о рентгеновской кристаллографии, и эта книга глубоко повлияла на дальнейший выбор её научного пути. Дороти изучала химию в Оксфордском университете, окончив его с отличием в 1932 году, и сразу же поступила в аспирантуру Кембриджского университета. В Кембридже она увидела возможности рентгеновской кристаллографии для определения структуры белков и в 1937 году защитила докторскую диссертацию. За долгую и продуктивную научную карьеру д-р Ходжкин определила структуры ряда важных биомолекул, в том числе иодида холестерина, пенициллина и витамина \(\ce{B12}\). За вклад в применение рентгеновских методов к выяснению строения биохимических веществ ей была присуждена Нобелевская премия по химии 1964 года. В 1969 году она возглавила группу учёных, расшифровавших структуру инсулина, что облегчило массовое производство этого гормона и значительно улучшило лечение больных диабетом во всём мире. Д-р Ходжкин продолжала сотрудничать с международным научным сообществом, удостоилась множества наград и званий до своей кончины в 1993 году.

Не все волны являются бегущими. Стоячие волны (standing waves), или стационарные волны, удерживаются в некоторой ограниченной области пространства. Как мы увидим, стоячие волны играют важную роль в описании электронного строения атомов и молекул. Простейший пример стоячей волны — одномерная волна на колеблющейся струне, закреплённой по концам. На Рис. 3.7 показаны четыре стоячие волны наименьших энергий (основная волна и три низшие гармоники) для колеблющейся струны при определённой амплитуде. Хотя движение струны происходит главным образом в плоскости, сама волна считается одномерной, так как располагается вдоль струны. Движение участков струны перпендикулярно её длине порождает волны, поэтому их амплитуду можно увидеть как максимальное отклонение кривых на Рис. 3.7. Главное наблюдение: на струне могут образовываться лишь те волны, для которых между концами укладывается целое число \(n\) полуволн. Система с закреплёнными концами ограничивает число и тип возможных форм волны. Это пример квантования — ситуации, когда из общего непрерывного набора значений некоторой величины наблюдаются только дискретные значения. Другое важное наблюдение: у всех гармонических волн (тех, что содержат больше половины длины волны) между концами есть одна или несколько точек, в которых струна неподвижна. Эти особые точки называют узлами (nodes). Энергии стоячих волн заданной амплитуды растут с числом полуволн \(n\). Так как число узлов равно \(n - 1\), можно сказать, что энергия зависит и от числа узлов, в общем случае увеличиваясь вместе с ним.

Рис. 3.7. На колеблющейся струне видны примеры одномерных стоячих волн. Поскольку концы струны закреплены, образуются только волны, для которых между ними укладывается целое число полуволн. Неподвижные точки между концами называются узлами.

Пример двумерных стоячих волн представлен на Рис. 3.8: показаны узоры колебаний на плоской поверхности. Хотя амплитуду колебаний нельзя увидеть так же наглядно, как на струне, узлы делают видимыми, посыпав поверхность мембраны порошком, который скапливается в зонах с минимальным смещением. Для одномерных стоячих волн узлы — это точки на прямой; для двумерных — линии на поверхности (для трёхмерных стоячих волн узлы — двумерные поверхности внутри трёхмерного объёма).

Рис. 3.8. Двумерные стоячие волны можно наблюдать на колеблющейся поверхности. Поверхность посыпана порошком, скапливающимся вблизи узловых линий. Видны два типа узлов: радиальные (окружности) и угловые (радиусы).

Дополнительно

На сайте OpenStax (http://openstax.org/l/16radnodes) можно посмотреть видео, в котором певица Имоджен Хип «проецирует» свой голос на барабан, демонстрируя образование радиальных узлов.

Излучение чёрного тела и ультрафиолетовая катастрофа

Последние десятилетия XIX века отмечены интенсивными исследованиями по коммерциализации только что изобретённого электрического освещения. Для этого требовалось лучше понимать распределения света, испускаемого различными источниками. Искусственное освещение обычно проектируется так, чтобы в пределах возможностей применённой технологии имитировать естественный солнечный свет. Такой свет состоит из широкого набора частот, образующего непрерывный спектр (continuous spectrum). На Рис. 3.9 показано распределение солнечного света по длинам волн. Наибольшая интенсивность приходится на видимую область, причём в сторону более коротких ультрафиолетовых (УФ) длин волн интенсивность падает быстро, а в сторону более длинных инфракрасных (ИК) — медленнее.

Рис. 3.9. Спектральное распределение (зависимость интенсивности света от длины волны) солнечного излучения, достигающего верхней границы атмосферы Земли, включает УФ, видимый и ИК свет. Не поглощённое атмосферой солнечное излучение в верхних её слоях имеет распределение, близкое к теоретическому распределению излучения чёрного тела при температуре \(5250\ \text{°C}\) (синяя кривая).

На Рис. 3.9 солнечное распределение сравнивается с типичным распределением — спектром чёрного тела (blackbody spectrum) — при температуре \(5250\ \text{°C}\). Спектр чёрного тела хорошо согласуется с солнечным. Чёрное тело — это удобный идеальный излучатель, приближённо описывающий поведение многих материалов при нагревании. Оно «идеально» в том же смысле, в каком идеальный газ — удобная и простая модель реальных газов, хорошо работающая, пока давление не слишком высоко, а температура не слишком низка. Хорошим приближением чёрного тела, на котором удобно изучать излучение чёрного тела (blackbody radiation), служит металлическая печь, нагреваемая до очень высоких температур. У такой печи есть небольшое отверстие, через которое спектрометром можно наблюдать испускаемый внутри свет и измерять длины волн и их интенсивности. На Рис. 3.10 приведены полученные кривые для нескольких характерных температур. Каждое распределение определяется единственным параметром — температурой. Максимумы \(\lambda_{\max}\) кривых чёрного тела с ростом температуры смещаются в сторону более коротких длин волн; это согласуется с наблюдением, что нагреваемые металлы сначала начинают светиться тёмно-красным цветом, который с повышением температуры становится ярче, а при очень высоких температурах приобретает белый цвет, поскольку существенными становятся интенсивности всех видимых длин волн. Именно это бытовое наблюдение стало основой первого парадокса, обнажившего фундаментальные ограничения классической физики, к которому мы и обратимся.

Физики, опираясь на общепринятые понятия классической механики и классической электродинамики, вывели математические выражения для кривых чёрного тела. Теоретические выражения, рассматриваемые как функции температуры, хорошо согласовывались с экспериментальными кривыми чёрного тела при больших длинах волн, но в коротковолновой области расходились с экспериментом существенно. Теоретические кривые не только не давали максимума, но и абсурдно показывали, что интенсивность неограниченно растёт по мере уменьшения длины волны; из этого следовало бы, что обычные предметы при комнатной температуре должны испускать большие количества УФ-света. Эта проблема получила название «ультрафиолетовой катастрофы» (ultraviolet catastrophe), поскольку в теоретическом построении не удавалось найти ничего, что приводило бы к столь нереалистичному коротковолновому поведению. Наконец, около 1900 года Макс Планк (Max Planck) вывел теоретическое выражение для излучения чёрного тела, в точности (в пределах экспериментальных погрешностей) совпадавшее с измерениями. Своё рассуждение Планк построил, развив более ранние подходы, основанные на предпосылке, что атомы вещества печи колеблются с увеличивающимися частотами (или уменьшающимися длинами волн) по мере повышения температуры, и эти колебания и являются источником испускаемого электромагнитного излучения. Но если предыдущие рассмотрения допускали, что энергия колеблющихся атомов может принимать любые значения из непрерывного множества (что вполне естественно с точки зрения классической физики), то Планк обнаружил: если для каждой частоты ограничить колебательные энергии дискретными значениями, можно получить выражение, в котором интенсивность в коротковолновой УФ-области спадает быстро, как и наблюдается:

\[ E = nh\nu, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]

Величина \(h\) — постоянная, теперь называемая в его честь постоянной Планка (Planck's constant). Хотя Планк и был доволен, что разрешил парадокс излучения чёрного тела, его смущало, что для этого пришлось предположить квантование (quantization) энергии колеблющихся атомов, которое он не мог объяснить. Значение постоянной Планка очень мало: \(h = 6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot\text{с}\), что и помогает объяснить, почему квантование энергии не наблюдалось ранее в макроскопических явлениях.

Рис. 3.10. Кривые спектрального распределения излучения чёрного тела для нескольких характерных температур.

Фотоэффект

Следующим парадоксом классической теории, который предстояло разрешить, стал фотоэффект (photoelectric effect) (Рис. 3.11). Было замечено, что при освещении чистой поверхности металла светом с частотой выше некоторой пороговой частоты (threshold frequency) с этой поверхности вылетают электроны. К удивлению исследователей, кинетическая энергия испускаемых электронов не зависела от яркости света, но возрастала с увеличением частоты. Поскольку электроны в металле удерживались некоторой энергией связи, падающему свету требовалось обладать достаточной энергией, чтобы их освободить. Однако в классической волновой теории энергия волны определяется её интенсивностью (зависящей от амплитуды), а не частотой. Наблюдалось также, что число электронов, вылетающих за заданное время, увеличивается с ростом яркости света. В 1905 году Альберт Эйнштейн (Albert Einstein) разрешил этот парадокс, перенеся идею квантования Планка на отвергнутое было корпускулярное представление о свете (за эту работу, а вовсе не за теорию относительности, которой он наиболее известен, Эйнштейн и получил Нобелевскую премию).

Эйнштейн предположил, что квантованные энергии, которые Планк постулировал для излучения чёрного тела, можно применить и к свету в фотоэффекте: тогда свет, падающий на поверхность металла, следует рассматривать не как волну, а как поток частиц (впоследствии названных фотонами (photons)), энергия которых зависит от их частоты в соответствии с формулой Планка \(E = h\nu\) (или, через длину волны, с учётом \(c = \nu\lambda\), \(E = hc/\lambda\)). Электроны выбиваются при попадании в них фотонов с достаточной энергией (то есть имеющих частоту выше пороговой). Чем больше частота, тем большую кинетическую энергию столкновение передаёт вылетающему электрону. Процессы, увеличивающие энергию атома, связаны с поглощением света и называются эндотермическими; процессы, уменьшающие энергию, связаны с испусканием света и называются экзотермическими. Эйнштейн также показал, что интенсивность света зависит не от амплитуды падающей волны, а от числа фотонов, падающих на поверхность за единицу времени. Это и объясняет, почему число выбитых электронов растёт с увеличением яркости: чем больше падающих фотонов, тем выше вероятность их столкновения с электронами.

В терминах энергии связи (работы выхода) \(\phi\) закон сохранения энергии для фотоэффекта принимает вид:

\[ E_k = h\nu - \phi \]

где \(E_k\) — кинетическая энергия вылетевшего электрона.

С выводами Эйнштейна природа света обрела новый налёт загадочности. Хотя многие явления света можно объяснить либо как волну, либо как поток частиц, существуют явления, например интерференционные картины при прохождении света через две щели, которые совершенно несовместимы с корпускулярной картиной, и другие явления, например фотоэффект, полностью несовместимые с волновой. Каким-то образом на глубоком фундаментальном уровне, до конца не понятом и сегодня, свет является и волной, и частицей. Это и есть корпускулярно-волновой дуализм.

Рис. 3.11. Фотоны с низкой частотой не имеют достаточной энергии, чтобы выбить электроны посредством фотоэффекта. Для любой частоты выше пороговой кинетическая энергия выбитого электрона линейно возрастает с энергией падающего фотона.

Пример 3.2. Расчёт энергии излучения

Задача. Когда мы видим свет неоновой вывески, мы наблюдаем излучение возбуждённых атомов неона. Если это излучение имеет длину волны \(640\ \text{нм}\), какова энергия испускаемого фотона?

Решение. Воспользуемся формулой Планка через длину волны \(\lambda\) и переведём нанометры в метры, чтобы единицы \(\lambda\) и \(c\) совпадали.

\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]

\[ \lambda = 640\ \text{нм} \times \frac{1 \times 10^{-9}\ \text{м}}{1\ \text{нм}} = 6{,}40 \times 10^{-7}\ \text{м} \]

\[ E = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot\text{с})(2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м}/\text{с})}{6{,}40 \times 10^{-7}\ \text{м}} = 3{,}10 \times 10^{-19}\ \text{Дж} \]

Проверь себя. Микроволны в печи имеют определённую частоту, на которой нагреваются молекулы воды, содержащиеся в пище. (Именно поэтому большая часть пластиков и стёкол не нагревается в микроволновой печи — в них нет молекул воды.) Эта частота составляет около \(3 \times 10^{9}\ \text{Гц}\). Какова энергия одного фотона в таких микроволнах?

Ответ: \(2 \times 10^{-24}\ \text{Дж}\).

Дополнительно

Воспользуйтесь симулятором (http://openstax.org/l/16photelec), чтобы поэкспериментировать с фотоэффектом и понаблюдать, как интенсивность и частота света, материал металла и другие параметры эксперимента влияют на вылетающие электроны.

Пример 3.3. Фотоэффект

Задача. Определите, какие из приведённых ниже утверждений ложны, и при необходимости измените выделенное курсивом слово или словосочетание так, чтобы утверждение стало верным и соответствовало объяснению фотоэффекта Эйнштейном.

(a) Увеличение яркости падающего света увеличивает кинетическую энергию выбиваемых электронов.

(b) Увеличение длины волны падающего света увеличивает кинетическую энергию выбиваемых электронов.

© Увеличение яркости падающего света увеличивает число выбиваемых электронов.

(d) Увеличение частоты падающего света может увеличивать число выбиваемых электронов.

Решение.

(a) Ложно. Увеличение яркости падающего света не влияет на кинетическую энергию выбиваемых электронов. На кинетическую энергию электронов влияет только энергия фотонов, а не их число или амплитуда.

(b) Ложно. Увеличение частоты падающего света увеличивает кинетическую энергию выбиваемых электронов. Частота прямо пропорциональна энергии и обратно пропорциональна длине волны. При частотах выше пороговой избыток энергии передаётся электронам в виде кинетической.

© Верно. Так как число столкновений с фотонами растёт с увеличением яркости, число выбиваемых электронов также увеличивается.

(d) Верно — в отношении пороговой энергии, удерживающей электроны в металле. Ниже этого порога электроны не вылетают, выше — вылетают. Однако, перейдя порог, дальнейшее увеличение частоты уже не приводит к увеличению числа выбиваемых электронов.

Проверь себя. Рассчитайте пороговую энергию (в кДж/моль) электронов в алюминии, если известно, что наименьшая частота фотонов, при которой ещё наблюдается фотоэффект, равна \(9{,}87 \times 10^{14}\ \text{Гц}\).

Ответ: \(394\ \text{кДж}/\text{моль}\).

Линейчатые спектры

Ещё один парадокс классической электромагнитной теории, с которым сталкивались учёные конца XIX века, был связан со светом, испускаемым атомами и молекулами. При достаточном нагревании твёрдые тела, жидкости и конденсированные газы излучают часть избыточной энергии в виде света. Образующиеся при этом фотоны имеют разные энергии, и поэтому возникает непрерывный спектр, в котором представлен сплошной набор длин волн. Большая часть света, испускаемого звёздами (включая наше Солнце), образуется именно так. Все длины волн видимого света, содержащиеся в солнечном свете, можно увидеть, разложив его призмой. Как видно на Рис. 3.9, в солнечном свете присутствуют также УФ (более короткие длины волн) и ИК (более длинные длины волн) лучи, которые можно регистрировать приборами, но нельзя увидеть невооружённым глазом. Раскалённые до накала твёрдые тела — например, вольфрамовые нити в лампах накаливания — также испускают свет, содержащий все длины волн видимого света. Такие непрерывные спектры часто приближают кривыми излучения чёрного тела при подходящей температуре, подобно показанным на Рис. 3.10.

В отличие от непрерывных спектров, свет может проявляться и в виде дискретных, или линейчатых, спектров (line spectra), состоящих из очень узких линий, разбросанных по спектральной области, как показано на Рис. 3.13. Линейчатые спектры получают при возбуждении газа низкого давления электрическим током или нагреванием. По такому принципу работают люминесцентные лампы и неоновые вывески (Рис. 3.12). У каждого элемента — свой характерный набор линий; у молекул также есть собственные спектры, обычно значительно более сложные.

Рис. 3.12. Неоновые вывески работают за счёт возбуждения газа низкого давления электрическим током. Эта вывеска демонстрирует, насколько изящные художественные эффекты можно при этом получать.

Каждая эмиссионная линия отвечает одной-единственной длине волны, что означает: испускаемый газом свет состоит из набора дискретных энергий. Например, при пропускании электрического разряда через трубку с водородом при низком давлении молекулы \(\ce{H2}\) распадаются на отдельные атомы \(\ce{H}\), и мы видим сине-розовое свечение. Если пропустить этот свет через призму, получается линейчатый спектр, показывающий, что излучение состоит из фотонов с четырьмя длинами волн в видимой области (Рис. 3.13).

Рис. 3.13. Сравнение двух типов спектров испускания: непрерывного спектра белого света (вверху) и линейчатых спектров возбуждённых атомов натрия, водорода, кальция и ртути. Примечание: ось длин волн на этих спектрах размечена в ангстремах (\(1\ \text{Å} = 0{,}1\ \text{нм}\)).

Происхождение дискретных спектров у атомов и молекул было крайне загадочным для учёных конца XIX века: согласно классической электромагнитной теории, должны были наблюдаться только непрерывные спектры. Ещё более удивительно, что в 1885 году Иоганн Бальмер (Johann Balmer) сумел вывести эмпирическое уравнение, связывающее четыре видимые длины волн излучения атомов водорода с целыми числами. Это уравнение имеет следующий вид, где \(k\) — постоянная:

\[ \lambda = k \left( \frac{n^{2}}{n^{2} - 4} \right), \qquad n = 3, 4, 5, 6 \]

Другие дискретные линии атома водорода были обнаружены в УФ и ИК областях. Юханнес Ридберг (Johannes Rydberg) обобщил работу Бальмера и вывел эмпирическую формулу, предсказывающую все эмиссионные линии водорода, а не только видимые. В ней \(n_1\) и \(n_2\) — целые числа (\(n_1 < n_2\)), а \(R_{\infty}\) — постоянная Ридберга (Rydberg constant), равная \(1{,}097 \times 10^{7}\ \text{м}^{-1}\):

\[ \frac{1}{\lambda} = R_{\infty} \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right) \]

Уже в конце XIX века спектроскопия была очень точной наукой, поэтому длины волн водорода измерялись с высокой точностью, что позволяло столь же точно определять и постоянную Ридберга. То, что столь простая формула, как формула Ридберга, могла описывать такие точные измерения, казалось в то время поразительным; однако именно объяснение спектров испускания, данное Нильсом Бором (Niels Bohr) в 1913 году, в конце концов убедило учёных отказаться от классической физики и подтолкнуло развитие современной квантовой механики.