1.6 Математическая обработка результатов измерений (Mathematical Treatment of Measurement Results)

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• объяснить подход анализа размерностей (метод размерных множителей) к математическим расчётам с величинами;
• применять анализ размерностей для перевода единиц одного свойства и для вычислений, в которых участвуют два или более свойств.

---

Нередко интересующую нас величину нелегко (или вообще невозможно) измерить непосредственно: её приходится вычислять из других, измеренных напрямую свойств, с помощью подходящих математических соотношений. Например, рассмотрим измерение средней скорости спринтера. Обычно её получают так: измеряют время, за которое спортсмен пробегает дистанцию от стартовой до финишной черты, и расстояние между этими чертами, после чего вычисляют скорость из уравнения, связывающего эти три величины:

\[ \text{скорость} = \frac{\text{расстояние}}{\text{время}} \]

Спринтер олимпийского уровня может пробежать \(100\ \text{м}\) примерно за \(10\ \text{с}\), что соответствует средней скорости

\[ \frac{100\ \text{м}}{10\ \text{с}} = 10\ \text{м/с} \]

(Для этого и последующего расчётов считаем, что нули в конце числа значащие.) Обратите внимание: эта простая арифметика сводится к делению чисел измеренных величин и одновременному делению их единиц: \(100/10 = 10\) для чисел и \(\text{м}/\text{с} = \text{м/с}\) для единиц. Теперь воспользуемся тем же соотношением, чтобы предсказать время, нужное человеку, бегущему с такой скоростью, чтобы преодолеть расстояние \(25\ \text{м}\). Соотношение остаётся прежним, но теперь заданы скорость (\(10\ \text{м/с}\)) и расстояние (\(25\ \text{м}\)). Чтобы получить искомое свойство — время, — уравнение нужно соответствующим образом преобразовать:

\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

Тогда время вычисляется как

\[ \frac{25\ \text{м}}{10\ \text{м/с}} = 2{,}5\ \text{с} \]

И снова арифметика над числами (\(25/10 = 2{,}5\)) сопровождалась той же арифметикой над единицами (\(\text{м}/(\text{м/с}) = \text{с}\)), что и дало число и единицу результата — \(2{,}5\ \text{с}\). Заметим, что, как и для чисел, при делении единицы на ту же самую единицу (в данном случае \(\text{м}/\text{м}\)) получается «1», или, как принято говорить, «единицы сокращаются».

Эти расчёты — примеры универсального математического подхода, известного как анализ размерностей (dimensional analysis), или метод размерных множителей (factor-label method). Анализ размерностей опирается на следующий принцип: единицы величин подвергаются тем же математическим операциям, что и связанные с ними числа. Этот метод применим к самым разным расчётам — от простых переводов единиц (unit conversion) до сложных многошаговых вычислений с участием нескольких различных величин.

Переводные коэффициенты и анализ размерностей

Отношение двух равных количеств, выраженных в разных единицах измерения, можно использовать как переводной коэффициент (conversion factor). Например, длины \(2{,}54\ \text{см}\) и \(1\ \text{дюйм}\) по определению равны, и из этого равенства можно построить переводной коэффициент в виде отношения:

\[ \frac{2{,}54\ \text{см}}{1\ \text{дюйм}}\quad (2{,}54\ \text{см} = 1\ \text{дюйм})\quad\text{или}\quad 2{,}54\ \frac{\text{см}}{\text{дюйм}} \]

Несколько других часто используемых переводных коэффициентов приведены в Таблице 1.6.

Длина	Объём	Масса
\(1\ \text{м} = 1{,}0936\ \text{ярд}\)	\(1\ \text{л} = 1{,}0567\ \text{кварт}\)	\(1\ \text{кг} = 2{,}2046\ \text{фунт}\)
\(1\ \text{дюйм} = 2{,}54\ \text{см}\) (точно)	\(1\ \text{кварт} = 0{,}94635\ \text{л}\)	\(1\ \text{фунт} = 453{,}59\ \text{г}\) 1
\(1\ \text{км} = 0{,}62137\ \text{мили}\)	\(1\ \text{фут}^3 = 28{,}317\ \text{л}\)	\(1\ \text{унция}\text{ (эвердьюпойс)} = 28{,}349\ \text{г}\)
\(1\ \text{миля} = 1609{,}3\ \text{м}\)	\(1\ \text{ст. ложка} = 14{,}787\ \text{мл}\)	\(1\ \text{унция}\text{ (тройская)} = 31{,}103\ \text{г}\)

Таблица 1.6. Часто используемые переводные коэффициенты.

Когда величину (например, расстояние в дюймах) умножают на подходящий переводной коэффициент, она превращается в равнозначное значение в других единицах (например, в сантиметрах). Так, прыжок баскетболиста в высоту \(34\ \text{дюйма}\) переводится в сантиметры следующим образом:

\[ 34\ \text{дюйма} \times \frac{2{,}54\ \text{см}}{1\ \text{дюйм}} = 86\ \text{см} \]

Поскольку эта простая арифметика касается величин, принцип анализа размерностей требует перемножения как чисел, так и единиц. Числа двух множителей перемножаются и дают число произведения, \(86\), а единицы перемножаются и дают \(\dfrac{\text{дюйм}\cdot\text{см}}{\text{дюйм}}\). Как и для чисел, отношение одинаковых единиц численно равно единице: \(\dfrac{\text{дюйм}}{\text{дюйм}} = 1\), и произведение единиц упрощается до \(\text{см}\). (Когда одинаковые единицы при делении дают множитель \(1\), говорят, что они «сокращаются».) Анализ размерностей позволяет также проверить, что переводные коэффициенты применены правильно, как показано в следующем примере.

Пример 1.8. Применение переводного коэффициента

Задача. Масса соревновательного фрисби равна \(125\ \text{г}\). Переведите её в унции, используя переводной коэффициент, полученный из соотношения \(1\ \text{унция} = 28{,}349\ \text{г}\) (Таблица 1.6).

Решение. Имея переводной коэффициент, массу в унциях можно получить по уравнению, аналогичному тому, что применялось при переводе длины из дюймов в сантиметры:

\[ x\ \text{унций} = 125\ \text{г} \times \text{переводной коэффициент} \]

Переводной коэффициент может быть представлен в виде

\[ \frac{1\ \text{унция}}{28{,}349\ \text{г}}\quad\text{или}\quad \frac{28{,}349\ \text{г}}{1\ \text{унция}} \]

Правильный коэффициент — тот, у которого граммы сокращаются и остаются унции:

\[ x\ \text{унций} = 125\ \text{г} \times \frac{1\ \text{унция}}{28{,}349\ \text{г}} = \left(\frac{125}{28{,}349}\right)\,\text{унций} = 4{,}41\ \text{унции}\ (\text{три значащие цифры}). \]

Проверь себя. Переведите объём \(9{,}345\ \text{кварт}\) в литры.

Ответ: \(8{,}844\ \text{л}\).

Помимо простых переводов единиц, метод размерных множителей применим и к более сложным задачам, включающим вычисления. Подход во всех случаях одинаков: все множители, участвующие в расчёте, должны быть ориентированы так, чтобы их «ярлыки» (единицы) надлежащим образом сокращались и/или объединялись, давая нужную единицу в результате. В дальнейшем при изучении химии вы не раз воспользуетесь этим приёмом.

Пример 1.9. Вычисление величин по результатам измерений и известным соотношениям

Задача. Какова плотность обычного антифриза в граммах на миллилитр? Образец антифриза объёмом \(4{,}00\ \text{кварт}\) имеет массу \(9{,}26\ \text{фунт}\).

Решение. Поскольку \(\text{плотность} = \dfrac{\text{масса}}{\text{объём}}\), нужно разделить массу в граммах на объём в миллилитрах. В общем виде: число единиц величины \(B\) равно числу единиц величины \(A\), умноженному на переводной коэффициент. Необходимые коэффициенты приведены в Таблице 1.6: \(1\ \text{фунт} = 453{,}59\ \text{г}\); \(1\ \text{л} = 1{,}0567\ \text{кварт}\); \(1\ \text{л} = 1000\ \text{мл}\). Массу из фунтов в граммы переводим так:

\[ 9{,}26\ \text{фунт} \times \frac{453{,}59\ \text{г}}{1\ \text{фунт}} = 4{,}20 \times 10^{3}\ \text{г} \]

Объём из кварт в миллилитры переводим в два шага:

1. Шаг 1. Переводим кварты в литры:

   \[ 4{,}00\ \text{кварт} \times \frac{1\ \text{л}}{1{,}0567\ \text{кварт}} = 3{,}78\ \text{л} \]

2. Шаг 2. Переводим литры в миллилитры:

   \[ 3{,}78\ \text{л} \times \frac{1000\ \text{мл}}{1\ \text{л}} = 3{,}78 \times 10^{3}\ \text{мл} \]

Тогда

\[ \text{плотность} = \frac{4{,}20 \times 10^{3}\ \text{г}}{3{,}78 \times 10^{3}\ \text{мл}} = 1{,}11\ \text{г/мл} \]

Этот же расчёт можно записать последовательным применением трёх переводных коэффициентов:

\[ \frac{9{,}26\ \text{фунт}}{4{,}00\ \text{кварт}} \times \frac{453{,}59\ \text{г}}{1\ \text{фунт}} \times \frac{1{,}0567\ \text{кварт}}{1\ \text{л}} \times \frac{1\ \text{л}}{1000\ \text{мл}} = 1{,}11\ \text{г/мл}. \]

Проверь себя. Каков объём в литрах \(1{,}000\ \text{унции}\), если \(1\ \text{л} = 1{,}0567\ \text{кварт}\) и \(1\ \text{кварт} = 32\ \text{унции}\) (точно)?

Ответ: \(2{,}957 \times 10^{-2}\ \text{л}\).

Пример 1.10. Вычисление величин по результатам измерений и известным соотношениям

Задача. Двигаясь из Филадельфии в Атланту — расстояние около \(1250\ \text{км}\), — автомобиль Lamborghini Aventador Roadster 2014 года расходует \(213\ \text{л}\) бензина.

(а) Каков средний расход топлива (в миль/галл — milligallon, mpg) Roadster за эту поездку?

(б) Если бензин стоит \(\$3{,}80\) за галлон, какова стоимость топлива за поездку?

Решение. (а) Сначала переведём расстояние из километров в мили:

\[ 1250\ \text{км} \times \frac{0{,}62137\ \text{мили}}{1\ \text{км}} = 777\ \text{миль} \]

Затем переведём объём из литров в галлоны:

\[ 213\ \text{л} \times \frac{1{,}0567\ \text{кварт}}{1\ \text{л}} \times \frac{1\ \text{галл}}{4\ \text{кварт}} = 56{,}3\ \text{галл} \]

Наконец,

\[ \text{(средний) расход} = \frac{777\ \text{миль}}{56{,}3\ \text{галл}} = 13{,}8\ \text{миль/галл} = 13{,}8\ \text{mpg}. \]

Этот же расчёт можно записать последовательным применением всех переводных коэффициентов:

\[ \frac{1250\ \text{км}}{213\ \text{л}} \times \frac{0{,}62137\ \text{мили}}{1\ \text{км}} \times \frac{1\ \text{л}}{1{,}0567\ \text{кварт}} \times \frac{4\ \text{кварт}}{1\ \text{галл}} = 13{,}8\ \text{mpg}. \]

(б) Используя ранее вычисленный объём в галлонах, получаем:

\[ 56{,}3\ \text{галл} \times \frac{\$3{,}80}{1\ \text{галл}} = \$214. \]

Проверь себя. Toyota Prius Hybrid расходует \(59{,}7\ \text{л}\) бензина, проезжая от Сан-Франциско до Сиэтла — расстояние \(1300\ \text{км}\) (две значащие цифры).

(а) Каков средний расход топлива (в миль/галл) у Prius за эту поездку?

(б) Если бензин стоит \(\$3{,}90\) за галлон, какова стоимость топлива за поездку?

Ответ: (а) \(51\ \text{mpg}\); (б) \(\$62\).

Перевод единиц температуры

Словом температура (temperature) мы обозначаем меру «нагретости» или «холодности» вещества. Один из способов измерять её изменение основан на том, что большинство веществ расширяются при нагревании и сжимаются при охлаждении. Жидкость в обычном стеклянном термометре меняет объём при изменении температуры, и положение поверхности заключённой в нём жидкости на нанесённой шкале служит мерой температуры.

Температурные шкалы (temperature scales) определяются относительно выбранных опорных температур: чаще всего используют температуры замерзания и кипения воды при заданном атмосферном давлении. По шкале Цельсия за \(0\ \text{°C}\) принимают температуру замерзания воды, а за \(100\ \text{°C}\) — её кипения. Промежуток между этими точками делят на \(100\) равных интервалов, которые называют градусами. По шкале Фаренгейта температуру замерзания воды принимают за \(32\ \text{°F}\), а кипения — за \(212\ \text{°F}\). Промежуток между этими точками на термометре Фаренгейта делят на \(180\) равных частей (градусов).

Из того, как определены шкалы Цельсия и Фаренгейта, следует, что связь между показаниями этих шкал немного сложнее, чем для большинства других единиц измерения свойств. Единицы измерения большинства свойств прямо пропорциональны друг другу (\(y = mx\)). Возьмём, например, привычные единицы длины:

\[ \text{длина в футах} = \left(\frac{1\ \text{фут}}{12\ \text{дюйм}}\right) \times \text{длина в дюймах}, \]

где \(y\) — длина в футах, \(x\) — длина в дюймах, а коэффициент пропорциональности \(m\) — переводной коэффициент. Однако шкалы Цельсия и Фаренгейта не имеют общей нулевой точки, поэтому связь между ними не пропорциональная, а линейная (\(y = mx + b\)). Следовательно, перевод температуры с одной из этих шкал на другую требует не только умножения на переводной коэффициент \(m\), но и учёта разницы в положении нулей шкал (\(b\)).

Линейное уравнение, связывающее температуры по Цельсию и по Фаренгейту, легко выводится из двух пар температур, определяющих каждую шкалу. Обозначив температуру по Цельсию через \(x\), а по Фаренгейту — через \(y\), найдём наклон \(m\):

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{212\ \text{°F} - 32\ \text{°F}}{100\ \text{°C} - 0\ \text{°C}} = \frac{180\ \text{°F}}{100\ \text{°C}} = \frac{9\ \text{°F}}{5\ \text{°C}}. \]

Свободный член \(b\) затем находим, подставляя любую из равнозначных пар температур — \((100\ \text{°C},\ 212\ \text{°F})\) или \((0\ \text{°C},\ 32\ \text{°F})\):

\[ b = y - mx = 32\ \text{°F} - \frac{9\ \text{°F}}{5\ \text{°C}} \times 0\ \text{°C} = 32\ \text{°F}. \]

Тогда уравнение, связывающее температуры \(T\) по двум шкалам, принимает вид

\[ T_{\text{°F}} = \left(\frac{9\ \text{°F}}{5\ \text{°C}} \times T_{\text{°C}}\right) + 32\ \text{°F}. \]

В сокращённой записи без единиц измерения это уравнение выглядит как

\[ T_{\text{°F}} = \frac{9}{5}\,T_{\text{°C}} + 32. \]

Перестроение этого уравнения даёт удобную форму для перевода из Фаренгейта в Цельсий:

\[ T_{\text{°C}} = \frac{5}{9}\,(T_{\text{°F}} - 32). \]

Как уже отмечалось в этой главе, единицей температуры в СИ является кельвин (\(\text{K}\)). В отличие от шкал Цельсия и Фаренгейта, шкала Кельвина — абсолютная: значение \(0\ \text{K}\) соответствует теоретически наименьшей возможной температуре. Поскольку шкала Кельвина абсолютна, знак градуса в обозначении не ставят. Открытие в начале XIX века связи между объёмом газа и его температурой указывало, что объём газа должен обращаться в нуль при \(-273{,}15\ \text{°C}\). В \(1848\) году британский физик Уильям Томсон (William Thompson), позднее получивший титул лорда Кельвина, предложил абсолютную температурную шкалу, опирающуюся на эту идею (подробнее эта тема рассматривается в главе о газах).

Температура замерзания воды по этой шкале равна \(273{,}15\ \text{K}\), а температура кипения — \(373{,}15\ \text{K}\). Заметим, что численная разница этих опорных значений равна \(100\) — как и у шкалы Цельсия, — поэтому линейная связь между шкалой Кельвина и шкалой Цельсия имеет наклон \(\dfrac{1\ \text{K}}{1\ \text{°C}}\). Тем же способом получаем уравнения для перевода между шкалами Кельвина и Цельсия:

\[ T_{\text{K}} = T_{\text{°C}} + 273{,}15, \]

\[ T_{\text{°C}} = T_{\text{K}} - 273{,}15. \]

Значение \(273{,}15\) в этих уравнениях определено экспериментально и не является точным. На Рис. 1.28 показана связь между тремя температурными шкалами.

Рис. 1.28. Шкалы Фаренгейта, Цельсия и Кельвина в сравнении.

Хотя абсолютная шкала Кельвина является официальной шкалой СИ, во многих научных контекстах используют шкалу Цельсия; она же предпочтительна и для повседневных нужд почти во всём мире. Лишь немногие страны (США и их территории, Багамские острова, Белиз, Каймановы острова и Палау) до сих пор пользуются шкалой Фаренгейта в метеорологии, медицине и кулинарии.

Пример 1.11. Перевод из шкалы Цельсия

Задача. Нормальной температурой тела принято считать \(37{,}0\ \text{°C}\) (хотя она меняется в зависимости от времени суток и способа измерения, а также от человека к человеку). Какова эта температура по шкале Кельвина и по шкале Фаренгейта?

Решение.

\[ T_{\text{K}} = T_{\text{°C}} + 273{,}15 = 37{,}0 + 273{,}15 = 310{,}2\ \text{K}, \]

\[ T_{\text{°F}} = \frac{9}{5}\,T_{\text{°C}} + 32{,}0 = \left(\frac{9}{5} \times 37{,}0\right) + 32{,}0 = 66{,}6 + 32{,}0 = 98{,}6\ \text{°F}. \]

Проверь себя. Переведите \(80{,}92\ \text{°C}\) в кельвины и градусы Фаренгейта.

Ответ: \(354{,}07\ \text{K},\ 177{,}66\ \text{°F}\).

Пример 1.12. Перевод из шкалы Фаренгейта

Задача. Для выпечки готовой пиццы требуется температура духовки \(450\ \text{°F}\). Если вы в Европе и термометр духовки — по шкале Цельсия, на какую отметку выставить нагрев? Какова температура в кельвинах?

Решение.

\[ T_{\text{°C}} = \frac{5}{9}\,(T_{\text{°F}} - 32) = \frac{5}{9}\,(450 - 32) = \frac{5}{9} \times 418 = 232\ \text{°C} \longrightarrow \text{ставим } 230\ \text{°C}\ (\text{две значащие цифры}). \]

\[ T_{\text{K}} = T_{\text{°C}} + 273{,}15 = \frac{5}{9}\,(T_{\text{°F}} - 32) + 273{,}15 = \frac{5}{9}\,(450 - 32) + 273{,}15 = 505{,}4\ \text{K} \longrightarrow 5{,}1 \times 10^{2}\ \text{K}. \]

Проверь себя. Переведите \(50\ \text{°F}\) в градусы Цельсия и кельвины.

Ответ: \(10\ \text{°C},\ 280\ \text{K}\).

---

1. Строго говоря, унция и фунт — единицы веса \(W\) (силы, равной произведению массы на ускорение свободного падения, \(W = mg\)). Приведённые в этой таблице соотношения обычно используют для приравнивания масс и весов с условным значением \(g\) у поверхности Земли. ↩