1.5 Неопределённость измерений, точность и прецизионность (Measurement Uncertainty, Accuracy, and Precision)¶

Цели обучения¶

К концу этого раздела вы сможете:

определять точность и прецизионность;
различать точные и неточные числа;
правильно представлять неопределённость величин с помощью значащих цифр;
применять правила округления к вычисленным величинам.

Счёт — это единственный вид измерения, свободный от неопределённости, при условии что число подсчитываемых объектов не меняется в процессе счёта. Результат такого измерения служит примером точного числа (exact number). Подсчитав яйца в коробке, можно установить точное их количество. Точными являются также числовые значения определённых по соглашению величин. По определению, $1$ фут равен ровно $12$ дюймам, $1$ дюйм — ровно $2{,}54$ сантиметра, а $1$ грамм — ровно $0{,}001$ килограмма. Однако величины, полученные из измерений иного рода, чем счёт, в той или иной мере неточны из-за практических ограничений процесса измерения.

Значащие цифры в измерении¶

Числа, выражающие результаты измерений, в отличие от определённых по соглашению или непосредственно подсчитанных величин, не являются точными. Чтобы измерить объём жидкости в мерном цилиндре, отсчёт следует делать по нижнему уровню мениска — самой нижней точке искривлённой поверхности жидкости.

$Мерный цилиндр с делениями от 5 до 25 мл; уровень жидкости с вогнутым мениском находится между делениями $21$ и $22$ мл. Справа — две последовательные врезки с увеличением шкалы у мениска; на конечной врезке показано, что отсчёт делается по нижней точке мениска, расположенной чуть ниже отметки $22$.$

Рис. 1.26. Чтобы измерить объём жидкости в этом мерном цилиндре, нужно мысленно разделить расстояние между отметками $21$ и $22$ мл на десятые доли миллилитра, а затем сделать отсчёт (оценку) по нижней точке мениска.

Обратимся к Рис. 1.26. Нижняя точка мениска явно лежит между отметками $21$ и $22$, то есть объём жидкости заведомо больше $21$ мл, но меньше $22$ мл. Мениск, по-видимому, расположен чуть ближе к отметке $22$ мл, чем к отметке $21$ мл, и потому разумной оценкой объёма жидкости будет $21{,}6$ мл. В числе $21{,}6$ цифры $2$ и $1$ установлены достоверно, а цифра $6$ получена оценкой. Кто-то может счесть, что мениск равноудалён от обеих отметок, и оценить цифру в разряде десятых как $5$; другой решит, что он ещё ближе к отметке $22$ мл, и оценит её как $7$. Заметьте, что пытаться оценить цифру в разряде сотых бессмысленно: уже цифра в разряде десятых неопределённа. В общем случае шкалы, подобные шкале этого цилиндра, позволяют измерять величины с точностью до одной десятой наименьшего деления. Здесь шкала разбита на деления по $1$ мл, поэтому объём можно измерить с точностью до $0{,}1$ мл.

Этот принцип верен для всех измерений, даже если вы не делаете оценку явно. Положив монету на обычные электронные весы, вы можете получить отсчёт $6{,}72$ г. Цифры $6$ и $7$ установлены достоверно, а цифра $2$ показывает, что масса монеты лежит, вероятно, между $6{,}71$ и $6{,}73$ грамма. Монета весит около $6{,}72$ грамма с нормальной неопределённостью измерения $\pm 0{,}01$ грамма. Если взвесить монету на более чувствительных весах, можно получить $6{,}723$ г. Это значит, что её масса лежит между $6{,}722$ и $6{,}724$ грамма, а неопределённость составляет $0{,}001$ грамма. Каждое измерение имеет некоторую неопределённость (uncertainty), которая зависит от прибора (и от навыков того, кто им пользуется). Все цифры в результате измерения, включая последнюю — неопределённую — цифру, называются значащими цифрами (significant figures), или значащими разрядами (significant digits). Заметьте, что нулевое значение тоже может быть результатом измерения: если вы встанете на весы, отображающие массу с точностью до фунта, и они покажут «$120$», то цифры $1$ (сотни), $2$ (десятки) и $0$ (единицы) — все значащие (измеренные).

Результат измерения записан правильно тогда, когда его значащие цифры адекватно отражают достоверность процесса измерения. Но как разобраться, какие цифры значащие, а какие — нет, если вам дано готовое числовое значение? Прежде всего, все ненулевые цифры значащие; внимания требуют только нули.

Будем использовать термины «начальные» (leading), «конечные» (trailing) и «внутренние» (captive) для нулей и рассмотрим, как с ними поступать.

В числе

\[ \underbrace{3090}_{\text{внутренний ноль}\ /\ \text{конечный ноль}} \]

цифра $3$ — первая ненулевая слева; второй ноль — внутренний (значащий), а последний — конечный, расположенный слева от десятичной запятой. Начиная с первой ненулевой цифры слева, считаем эту цифру и все остальные цифры справа. Это и есть число значащих цифр измерения — за исключением случая, когда последняя цифра представляет собой конечный ноль, стоящий слева от десятичной запятой.

Например, число $1267$ м имеет четыре значащие цифры: первая ненулевая цифра слева — $1$, далее идут $2$, $6$, $7$. Число $55{,}0$ г имеет три значащие цифры: обратите внимание, что ноль в конце справа от десятичной запятой является значащим.

Внутренние нули возникают в результате измерения и потому всегда значащие. Начальные нули, напротив, никогда не значащие — они лишь указывают, где находится десятичная запятая.

Так, число $70{,}607$ мл содержит пять значащих цифр: все цифры, включая внутренние нули. А число $0{,}00832407$ мл содержит шесть значащих цифр: начальные нули в этом примере не значащие. Можно воспользоваться научной формой записи (как описано в Приложении B) и записать число как $8{,}32407 \times 10^{-3}$; тогда число $8{,}32407$ содержит все значащие цифры, а множитель $10^{-3}$ указывает положение десятичной запятой.

Число значащих цифр неопределённо, если число оканчивается нулём слева от десятичной запятой. Нули в записи $1300$ грамм могут быть значащими, а могут лишь указывать положение десятичной запятой. Неоднозначность снимает научная форма записи: $1{,}3 \times 10^{3}$ (две значащие цифры), $1{,}30 \times 10^{3}$ (три значащие цифры, если измерен разряд десятков) или $1{,}300 \times 10^{3}$ (четыре значащие цифры, если измерен и разряд единиц). Когда дана только десятичная форма записи, разумно считать, что все конечные нули не значащие.

Определяя число значащих цифр, обращайте внимание на представленные значения и оценивайте их разумность: правдоподобно ли получить такую точность измерения? Например, по официальной переписи в январе $2014$ года численность постоянного населения США составляла $317{,}297{,}725$ человек. Можно ли считать, что население США определено с указанными девятью значащими цифрами — то есть с точностью до отдельного человека? Люди постоянно рождаются и умирают, въезжают в страну и выезжают из неё, а для учёта тех, кого не пересчитывают непосредственно, делаются допущения. С учётом этих неопределённостей разумнее ожидать, что мы знаем численность населения с точностью примерно до миллиона; в этом случае её следовало бы записать как $3{,}17 \times 10^{8}$ человек.

Значащие цифры в вычислениях¶

Второй важный принцип неопределённости состоит в том, что результаты, вычисленные на основе измерения, не менее неопределённы, чем само измерение. Чтобы не исказить неопределённость вычисленных значений, её нужно учитывать. Один из способов — представлять результат вычислений с верным числом значащих цифр, что определяется тремя следующими правилами округления (rounding) чисел:

При сложении и вычитании округляйте результат до того же числа десятичных знаков, что и у слагаемого с наименьшим числом десятичных знаков (то есть наименее точного с точки зрения сложения и вычитания).
При умножении и делении округляйте результат до того же числа значащих цифр, что и у множителя с наименьшим числом значащих цифр (наименее точного с точки зрения умножения и деления).
Если отбрасываемая цифра (та, что стоит сразу справа от удерживаемой) меньше $5$, «округляйте вниз» — оставляйте удерживаемую цифру без изменения; если она больше $5$, «округляйте вверх» — увеличивайте удерживаемую цифру на $1$. Если отбрасываемая цифра — $5$ и это либо последняя цифра в числе, либо за ней следуют только нули, округляйте вверх или вниз так, чтобы удерживаемая цифра стала чётной. Если за отбрасываемой пятёркой следуют какие-либо ненулевые цифры, округляйте вверх. (Последняя часть этого правила может показаться странной, но она основана на надёжных статистических соображениях и нужна для того, чтобы избежать смещения при отбрасывании цифры «$5$», ведь от обоих возможных значений удерживаемой цифры пятёрка одинаково удалена.)

Следующие примеры иллюстрируют применение этого правила при округлении нескольких чисел до трёх значащих цифр:

$0{,}028675$ округляется «вверх» до $0{,}0287$ (отбрасываемая цифра $7$ больше $5$);
$18{,}3384$ округляется «вниз» до $18{,}3$ (отбрасываемая цифра $3$ меньше $5$);
$6{,}8752$ округляется «вверх» до $6{,}88$ (отбрасываемая цифра $5$, и за ней следует ненулевая цифра);
$92{,}85$ округляется «вниз» до $92{,}8$ (отбрасываемая цифра $5$, а удерживаемая цифра — чётная).

Разберём эти правила на нескольких примерах.

Пример 1.3. Округление чисел

Задача. Округлите следующие числа до указанного количества значащих цифр:

(a) $31{,}57$ (до двух значащих цифр);

(b) $8{,}1649$ (до трёх значащих цифр);

(d) $0{,}90275$ (до четырёх значащих цифр).

Решение.

(a) $31{,}57$ округляется «вверх» до $32$ (отбрасываемая цифра $5$, а удерживаемая — чётная);

(b) $8{,}1649$ округляется «вниз» до $8{,}16$ (отбрасываемая цифра $4$ меньше $5$);

(d) $0{,}90275$ округляется «вверх» до $0{,}9028$ (отбрасываемая цифра $5$, а удерживаемая — чётная).

Проверь себя. Округлите следующие числа до указанного количества значащих цифр:

(a) $0{,}424$ (до двух значащих цифр);

(b) $0{,}0038661$ (до трёх значащих цифр);

(d) $28\,683{,}5$ (до пяти значащих цифр).

Ответ: (a) $0{,}42$; (b) $0{,}00387$; © $421{,}2$; (d) $28\,684$.

Пример 1.4. Сложение и вычитание со значащими цифрами

Правило. При сложении и вычитании результат округляют до того же числа десятичных знаков, что и у числа с наименьшим количеством десятичных знаков (то есть наименее точного с точки зрения сложения и вычитания).

Задача.

(a) Сложите $1{,}0023$ г и $4{,}383$ г.

(b) Вычтите $421{,}23$ г из $486$ г.

Решение.

(a)

\[ \begin{aligned} &\phantom{+\,}1{,}0023\ \text{г}\\ &+\,4{,}383\phantom{0}\ \text{г}\\ \hline &\phantom{+\,}5{,}385\underline{3}\ \text{г} \end{aligned} \]

Ответ: $5{,}385$ г (округляем до разряда тысячных — трёх десятичных знаков; разряд десятитысячных подчёркнут как наименее точный).

(b)

\[ \begin{aligned} &\phantom{-\,}486\phantom{{,}00}\ \text{г}\\ &-\,421{,}23\ \text{г}\\ \hline &\phantom{-\,}64{,}\underline{77}\ \text{г} \end{aligned} \]

Ответ: $65$ г (округляем до разряда единиц; десятичных знаков нет).

Проверь себя.

(a) Сложите $2{,}334$ мл и $0{,}31$ мл.

(b) Вычтите $55{,}8752$ м из $56{,}533$ м.

Ответ: (a) $2{,}64$ мл; (b) $0{,}658$ м.

Пример 1.5. Умножение и деление со значащими цифрами

Правило. При умножении и делении результат округляют до того же числа значащих цифр, что и у числа с наименьшим количеством значащих цифр (наименее точного с точки зрения умножения и деления).

Задача.

(a) Умножьте $0{,}6238$ см на $6{,}6$ см.

(b) Разделите $421{,}23$ г на $486$ мл.

Решение.

(a)

\[ 0{,}6238\ \text{см} \times 6{,}6\ \text{см} = 4{,}11708\ \text{см}^2 \longrightarrow 4{,}1\ \text{см}^2 \]

(четыре значащие цифры $\times$ две значащие цифры $\longrightarrow$ результат с двумя значащими цифрами).

(b)

\[ \frac{421{,}23\ \text{г}}{486\ \text{мл}} = 0{,}866728\ldots\ \text{г/мл} \longrightarrow 0{,}867\ \text{г/мл} \]

(пять значащих цифр $/$ три значащие цифры $\longrightarrow$ результат с тремя значащими цифрами).

Проверь себя.

(a) Умножьте $2{,}334$ см на $0{,}320$ см.

(b) Разделите $55{,}8752$ м на $56{,}53$ с.

Ответ: (a) $0{,}747\ \text{см}^2$; (b) $0{,}9884$ м/с.

Среди всех этих технических подробностей важно не упускать из виду цель правил о значащих цифрах и округлении: правильно представлять достоверность приводимых значений и не допускать, чтобы вычисленный результат выглядел более точным, чем самое неточное из значений, использованных в расчёте.

Пример 1.6. Расчёт со значащими цифрами

Задача. Обычная ванна имеет длину $13{,}44$ дм, ширину $5{,}920$ дм и глубину $2{,}54$ дм. Считая ванну прямоугольной, рассчитайте её приближённый объём в литрах.

Решение.

\[ \begin{aligned} V &= l \times w \times d \\ &= 13{,}44\ \text{дм} \times 5{,}920\ \text{дм} \times 2{,}54\ \text{дм} \\ &= 202{,}04059\ldots\ \text{дм}^3\quad (\text{значение с калькулятора}) \\ &= 202\ \text{дм}^3,\ \text{или}\ 202\ \text{л}\quad (\text{ответ округлён до трёх значащих цифр}). \end{aligned} \]

Проверь себя. Какова плотность жидкости массой $31{,}1415$ г и объёмом $30{,}13\ \text{см}^3$?

Ответ: $1{,}034$ г/мл.

Пример 1.7. Экспериментальное определение плотности по вытеснению воды

Задача. Кусок арматурного стержня (рибара) взвесили, а затем погрузили в мерный цилиндр, частично заполненный водой; полученные результаты приведены ниже.

$Иллюстрация к Примеру 1.7: слева — мерный цилиндр с водой до отметки $13{,}5$ мл («начальный объём»); справа — тот же цилиндр с погружённым отрезком ребристого арматурного стержня, уровень воды поднялся до $22{,}4$ мл («конечный объём»). Над цилиндрами — изображение куска арматуры с подписью «масса арматуры $= 69{,}658$ г».$

Иллюстрация к Примеру 1.7. Масса арматуры $= 69{,}658$ г; конечный объём воды $= 22{,}4$ мл; начальный объём воды $= 13{,}5$ мл.

(a) По этим значениям определите плотность данного куска арматуры.

(b) Арматура изготавливается главным образом из железа. Подтверждает ли ваш результат в пункте (a) это утверждение? Каким образом?

Решение. Объём куска арматуры равен объёму вытесненной воды:

\[ V = 22{,}4\ \text{мл} - 13{,}5\ \text{мл} = 8{,}9\ \text{мл} = 8{,}9\ \text{см}^3 \]

(округлено до ближайших $0{,}1$ мл по правилу сложения и вычитания).

Плотность есть отношение массы к объёму:

\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{69{,}658\ \text{г}}{8{,}9\ \text{см}^3} = 7{,}8\ \text{г/см}^3 \]

(округлено до двух значащих цифр по правилу умножения и деления).

По таблице 1.4 плотность железа равна $7{,}9\ \text{г/см}^3$, что очень близко к плотности арматуры; это служит подтверждением того, что арматура состоит главным образом из железа.

Проверь себя. Кусок блестящего желтоватого материала неправильной формы взвесили, а затем погрузили в мерный цилиндр; результаты приведены ниже.

$Иллюстрация к проверочному заданию Примера 1.7: слева — мерный цилиндр с водой до отметки $17{,}1$ мл («начальный объём»); справа — тот же цилиндр с погружённым в воду куском блестящего жёлтого материала неправильной формы, уровень воды поднялся до $19{,}8$ мл («конечный объём»). Над цилиндрами — подпись «масса $= 51{,}842$ г».$

Иллюстрация к проверочному заданию. Масса $= 51{,}842$ г; конечный объём воды $= 19{,}8$ мл; начальный объём воды $= 17{,}1$ мл.

(a) По этим значениям определите плотность данного материала.

(b) Есть ли у вас разумные предположения о том, что это за материал? Поясните свои рассуждения.

Ответ: (a) $19\ \text{г/см}^3$; (b) скорее всего, это золото: внешний вид соответствует золоту, а полученная плотность очень близка к значению, указанному для золота в таблице 1.4.

Точность и прецизионность¶

Учёные обычно повторяют измерения, чтобы убедиться в качестве своих данных и оценить как прецизионность (precision), так и точность (accuracy) результатов. Измерения называют прецизионными, если при их повторении в одинаковых условиях получаются весьма близкие друг к другу результаты. Измерение считают точным, если оно даёт значение, близкое к истинному или принятому. Прецизионные значения согласуются между собой; точные — согласуются с истинным значением. Эти характеристики можно перенести и на другие контексты, например на результаты стрелковых соревнований (Рис. 1.27).

Три мишени со стрелами: (a) все стрелы попали кучно в самый центр «яблочка» — подпись «Точно и прецизионно»; (b) все стрелы расположены близко друг к другу, но в стороне от центра — подпись «Прецизионно, но не точно»; (c) стрелы разбросаны по всей мишени, не попадая в центр и далеко друг от друга — подпись «Не точно и не прецизионно».

Рис. 1.27. (a) Эти стрелы расположены близко и к «яблочку», и друг к другу — то есть результаты одновременно точные и прецизионные. (b) Эти стрелы расположены близко друг к другу, но далеко от центра — прецизионные, но неточные. © Эти стрелы и не попадают в центр, и расходятся между собой — ни точные, ни прецизионные.

Допустим, химик отдела контроля качества фармацевтической компании должен проверить точность и прецизионность трёх разных аппаратов, предназначенных для розлива по $10$ унций ($296$ мл) сиропа от кашля во флаконы. На каждом из аппаратов она наполняет по пять флаконов и тщательно определяет фактический налитый объём, получая результаты, сведённые в Таблицу 1.5.

Таблица 1.5. Объём ($\text{мл}$) сиропа от кашля, разлитого дозаторами на $10$ унций ($296$ мл).

Дозатор № 1	Дозатор № 2	Дозатор № 3
$283{,}3$	$298{,}3$	$296{,}1$
$284{,}1$	$294{,}2$	$295{,}9$
$283{,}9$	$296{,}0$	$296{,}1$
$284{,}0$	$297{,}8$	$296{,}0$
$284{,}1$	$293{,}9$	$296{,}1$

Рассматривая эти результаты, химик заключит, что дозатор № 1 прецизионен (значения близки друг к другу — в пределах нескольких десятых миллилитра), но неточен (ни одно из значений не близко к целевому объёму $296$ мл: все они меньше него более чем на $10$ мл). Дозатор № 2 даёт более высокую точность (каждый объём отличается от $296$ мл менее чем на $3$ мл), но худшую прецизионность (объёмы различаются между собой более чем на $4$ мл). Наконец, она сообщит, что дозатор № 3 работает хорошо: он отмеряет сироп от кашля и точно (все объёмы лежат в пределах $0{,}1$ мл от целевого значения), и прецизионно (объёмы различаются между собой не более чем на $0{,}2$ мл).

Замечание о терминах

В русскоязычной литературе слово точность часто употребляется в двух смыслах: и как «accuracy» (близость к истинному значению), и как общая характеристика качества измерения. В этом разделе под точностью понимается именно близость к истинному значению, а прецизионность (precision) — близость повторных измерений друг к другу. Эти понятия следует отличать также от погрешности (error) — отклонения результата измерения от истинного значения; погрешности делятся на случайные (random error) и систематические (systematic error).

Дозатор № 1	Дозатор № 2	Дозатор № 3
\(283{,}3\)	\(298{,}3\)	\(296{,}1\)
\(284{,}1\)	\(294{,}2\)	\(295{,}9\)
\(283{,}9\)	\(296{,}0\)	\(296{,}1\)
\(284{,}0\)	\(297{,}8\)	\(296{,}0\)
\(284{,}1\)	\(293{,}9\)	\(296{,}1\)