3.2 Модель Бора (The Bohr Model)¶

Цели обучения¶

К концу этого раздела вы сможете:

описывать модель атома водорода Бора;
использовать уравнение Ридберга для расчёта энергий света, излучаемого или поглощаемого атомами водорода.

После работ Эрнеста Резерфорда и его коллег в начале XX века прочно утвердилось представление об атоме как о крошечном плотном ядре, окружённом более лёгкими и ещё более крошечными электронами, непрерывно движущимися вокруг этого ядра. Такую картину назвали планетарной моделью (planetary model): атом мыслился как миниатюрная «солнечная система», в которой электроны обращаются вокруг ядра подобно планетам, обращающимся вокруг Солнца. Простейший атом — водород: единственный протон, образующий ядро, и единственный движущийся вокруг него электрон. Электростатическая сила, притягивающая электрон к протону, зависит только от расстояния между ними. Однако такое описание атома в рамках классической механики неполно: электрон, движущийся по эллиптической орбите, испытывал бы ускорение (вследствие изменения направления движения), а согласно классической электродинамике он должен был бы непрерывно испускать электромагнитное излучение. Эта потеря энергии орбитального движения должна была бы приводить к тому, что орбита электрона непрерывно сжималась бы, пока электрон по спирали не упал бы на ядро, — а значит, атомы по сути своей были бы неустойчивыми.

В 1913 году Нильс Бор (Niels Bohr) попытался разрешить этот атомный парадокс, отказавшись от предсказания классической электродинамики о том, что орбитальный электрон в атоме водорода должен непрерывно испускать свет. Вместо этого он встроил в классическое механическое описание атома идеи Планка о квантовании и вывод Эйнштейна о том, что свет состоит из фотонов, энергия которых пропорциональна их частоте. Бор предположил, что электрон, обращающийся вокруг ядра, в обычных условиях не испускает излучения (гипотеза о стационарных состояниях), а испускает или поглощает фотон только при переходе на другую орбиту. Поглощённая или испущенная энергия равна разности энергий орбит и определяется уравнением

\[ |\Delta E| = |E_f - E_i| = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} \]

В этом уравнении $h$ — постоянная Планка, $E_i$ и $E_f$ — начальная и конечная энергии орбиты соответственно. Берётся модуль разности энергий, поскольку частоты и длины волн всегда положительны. Вместо непрерывных значений энергии Бор предположил, что энергии электронных орбит квантованы (quantized):

\[ E_n = -\dfrac{k}{n^2}, \quad n = 1,\,2,\,3,\,\ldots \]

В этом выражении $k$ — постоянная, составленная из фундаментальных констант, таких как масса и заряд электрона и постоянная Планка. Подстановка выражения для энергий орбит в уравнение для $\Delta E$ даёт

\[ \Delta E = k\left(\dfrac{1}{n_1^2} - \dfrac{1}{n_2^2}\right) = \dfrac{hc}{\lambda} \]

или

\[ \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{k}{hc}\left(\dfrac{1}{n_1^2} - \dfrac{1}{n_2^2}\right) \]

что совпадает с уравнением Ридберга, в котором $R_\infty = \dfrac{k}{hc}$. Когда Бор вычислил теоретическое значение постоянной Ридберга (Rydberg constant) $R_\infty$ и сравнил его с экспериментально принятым значением, согласие оказалось превосходным. Поскольку постоянная Ридберга была одной из наиболее точно измеренных констант того времени, такая степень согласия была поразительной и означала, что к модели Бора следует относиться серьёзно, несмотря на множество допущений, которые потребовались для её вывода.

Несколько нижних уровней энергии показаны на Рис. 3.14. Один из фундаментальных законов физики гласит: вещество наиболее устойчиво при наименьшей возможной энергии. Поэтому электрон в атоме водорода обычно движется по орбите с $n = 1$ — орбите с наименьшей энергией. Когда электрон находится на этой орбите наименьшей энергии, говорят, что атом находится в основном электронном состоянии (ground electronic state) (или просто в основном состоянии (ground state)). Если атом получает энергию извне, электрон может перейти на орбиту с большим значением $n$, и тогда атом оказывается в возбуждённом электронном состоянии (excited electronic state) (или просто в возбуждённом состоянии (excited state)) с более высокой энергией. При переходе электрона из возбуждённого состояния (орбиты с большей энергией) в менее возбуждённое или в основное состояние разность энергий излучается в виде фотона. И наоборот, при поглощении атомом фотона его энергия переводит электрон с орбиты меньшей энергии на более возбуждённую. Энергию электронов в атомах можно связать с тем, что мы узнали ранее об энергии. Закон сохранения энергии гласит, что энергию нельзя ни создать, ни уничтожить. Поэтому, если для возбуждения электрона с одного уровня энергии на другой требуется определённое количество внешней энергии, такое же количество энергии высвободится, когда электрон вернётся в исходное состояние (Рис. 3.15).

$Диаграмма энергетических уровней атома водорода: горизонтальные линии, отвечающие $n = 1, 2, 3, 4, 5$, расположены с убывающим интервалом; уровню $n = 1$ соответствует энергия $-2{,}18\times 10^{-18}\ \text{Дж}$, а уровни с большими $n$ всё ближе подходят к нулю при $n \to \infty$.$

Рис. 3.14. Квантовые числа и уровни энергии в атоме водорода. Чем более отрицательным является вычисленное значение, тем меньше энергия.

Поскольку модель Бора рассматривает лишь один электрон, её можно применить и к одноэлектронным ионам $\ce{He+}$, $\ce{Li^2+}$, $\ce{Be^3+}$ и так далее, которые отличаются от водорода только зарядом ядра; одноэлектронные атомы и ионы вместе называют водородоподобными атомами (hydrogen-like atoms). Выражение для энергии водородоподобных атомов является обобщением выражения для энергии атома водорода: в нём $Z$ — заряд ядра ($+1$ для водорода, $+2$ для $\ce{He}$, $+3$ для $\ce{Li}$ и так далее), а $k$ имеет значение $2{,}179 \times 10^{-18}\ \text{Дж}$:

\[ E_n = -\dfrac{kZ^2}{n^2} \]

Размеры круговых орбит для водородоподобных атомов выражаются через их радиусы следующим выражением, в котором $a_0$ — постоянная, называемая боровским радиусом (Bohr radius), со значением $5{,}292 \times 10^{-11}\ \text{м}$:

\[ r = \dfrac{n^2}{Z}\,a_0 \]

Это уравнение также показывает, что по мере увеличения энергии электрона (с ростом $n$) электрон находится на всё больших расстояниях от ядра. Это следует из обратной зависимости электростатического притяжения от расстояния: по мере удаления электрона от ядра электростатическое притяжение между ними уменьшается, и электрон удерживается в атоме слабее. Заметим, что с ростом $n$ и увеличением орбит их энергии приближаются к нулю; таким образом, пределы $n \to \infty$ и $r \to \infty$ означают, что $E = 0$ соответствует пределу ионизации, при котором электрон полностью удалён от ядра. Следовательно, для водорода в основном состоянии $n = 1$ энергия ионизации составит:

\[ \Delta E = E_{n \to \infty} - E_1 = 0 + k = k \]

С разрешением трёх крайне загадочных парадоксов (излучение абсолютно чёрного тела, фотоэффект и атом водорода) — каждый из которых принципиальным образом включал постоянную Планка — большинству физиков того времени стало ясно, что классические теории, столь хорошо работавшие в макроскопическом мире, в основе своей ущербны и не могут быть распространены вниз, в микроскопическую область атомов и молекул. К сожалению, несмотря на замечательное достижение Бора в выводе теоретического выражения для постоянной Ридберга, он не смог распространить свою теорию на следующий по простоте атом — гелий, в котором всего два электрона. Модель Бора имела серьёзные изъяны, поскольку всё ещё опиралась на классическое представление о точно определённых орбитах — представление, которое позднее оказалось несостоятельным в микроскопической области, когда на смену классической механике была разработана полноценная модель квантовой механики.

Пример 3.4. Расчёт энергии электрона на боровской орбите

Задача. Ранние исследователи были крайне воодушевлены тем, что научились предсказывать энергию электрона на определённом расстоянии от ядра в атоме водорода. Если искра переводит электрон в атоме водорода на орбиту с $n = 3$, чему равна расчётная энергия электрона в джоулях?

Решение. Энергия электрона задаётся уравнением

\[ E = -\dfrac{kZ^2}{n^2} \]

Атомный номер $Z$ водорода равен $1$; $k = 2{,}179 \times 10^{-18}\ \text{Дж}$; электрон характеризуется значением $n = 3$. Таким образом,

\[ E = \dfrac{-(2{,}179 \times 10^{-18}\ \text{Дж}) \times (1)^2}{(3)^2} = -2{,}421 \times 10^{-19}\ \text{Дж} \]

Проверь себя. Электрон на Рис. 3.15 переведён ещё дальше — на орбиту с $n = 6$. Чему равна его новая энергия?

Ответ: $-6{,}053 \times 10^{-20}\ \text{Дж}$.

Диаграмма уровней энергии в модели Бора атома водорода: вверх направленные стрелки между орбитами соответствуют поглощению фотона при переходе электрона на более высокий уровень, вниз направленные — испусканию фотона при возвращении на более низкий уровень.

Рис. 3.15. Горизонтальные линии показывают относительную энергию орбит в модели Бора атома водорода, а вертикальные стрелки изображают энергию фотонов, поглощённых (слева) или испущенных (справа) при переходах электрона между этими орбитами.

Пример 3.5. Расчёт энергии и длины волны электронных переходов в одноэлектронной (боровской) системе

Задача. Какова энергия (в джоулях) и длина волны (в метрах) линии в спектре водорода, отвечающей переходу электрона с боровской орбиты $n = 4$ на орбиту $n = 6$? В какой области электромагнитного спектра находится это излучение?

Решение. В этом случае электрон выходит из состояния $n = 4$, поэтому $n_1 = 4$. Он приходит в состояние $n = 6$, поэтому $n_2 = 6$. Разность энергий между двумя состояниями задаётся выражением

\[ \Delta E = E_1 - E_2 = 2{,}179 \times 10^{-18}\left(\dfrac{1}{n_1^2} - \dfrac{1}{n_2^2}\right) \]

\[ \Delta E = 2{,}179 \times 10^{-18}\left(\dfrac{1}{4^2} - \dfrac{1}{6^2}\right)\ \text{Дж} \]

\[ \Delta E = 2{,}179 \times 10^{-18}\left(\dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{36}\right)\ \text{Дж} \]

\[ \Delta E = 7{,}566 \times 10^{-20}\ \text{Дж} \]

Эта разность энергий положительна, что означает: фотон входит в систему (поглощается), переводя электрон с орбиты $n = 4$ на орбиту $n = 6$. Длина волны фотона с такой энергией находится из выражения $E = \dfrac{hc}{\lambda}$. После преобразования получаем:

\[ \lambda = \dfrac{hc}{E} = \dfrac{(6{,}626 \times 10^{-34}\ \text{Дж}\cdot\text{с})(2{,}998 \times 10^{8}\ \text{м/с})}{7{,}566 \times 10^{-20}\ \text{Дж}} = 2{,}626 \times 10^{-6}\ \text{м} \]

Из иллюстрации электромагнитного спектра в разделе «Электромагнитная энергия» видно, что эта длина волны находится в инфракрасной части электромагнитного спектра.

Проверь себя. Какова энергия в джоулях и длина волны в метрах фотона, который испускается при переходе электрона с уровня $n = 5$ на уровень $n = 3$ в ионе $\ce{He+}$ ($Z = 2$ для $\ce{He+}$)?

Ответ: $6{,}198 \times 10^{-19}\ \text{Дж}$; $3{,}205 \times 10^{-7}\ \text{м}$.

Модель атома водорода Бора даёт представление о поведении вещества на микроскопическом уровне, однако не учитывает межэлектронных взаимодействий в атомах с числом электронов больше одного. Тем не менее она вводит несколько важных особенностей, присущих всем моделям, которыми описывают распределение электронов в атоме. К этим особенностям относятся следующие:

энергии электронов (уровни энергии (energy levels)) в атоме квантованы и описываются квантовыми числами (quantum numbers) — целыми числами, принимающими лишь определённые допустимые значения и используемыми для характеристики расположения электронов в атоме;
энергия электрона возрастает с увеличением расстояния от ядра;
дискретные энергии (линии) в спектрах элементов есть следствие квантованности электронных энергий.

Из этих особенностей важнейшая — постулат о квантованных уровнях энергии электрона в атоме. Как следствие, модель заложила основу для квантово-механической модели атома. За свой вклад в наше понимание строения атомов и его связи с эмиссионными линейчатыми спектрами Бор получил Нобелевскую премию по физике.