8.2 Связь давления, объёма, количества и температуры: уравнение состояния идеального газа (Relating Pressure, Volume, Amount, and Temperature: The Ideal Gas Law)¶

Цели обучения¶

К концу этого раздела вы сможете:

устанавливать математические соотношения между различными свойствами газов;
использовать уравнение состояния идеального газа и связанные с ним газовые законы для расчёта величин, характеризующих состояние газа в заданных условиях.

В XVII и особенно в XVIII веке, движимые как стремлением понять природу, так и поисками способа создать летающие воздушные шары (Рис. 8.9), несколько учёных установили соотношения между макроскопическими физическими свойствами газов: давлением, объёмом, температурой и количеством вещества. Хотя их измерения и не были точными по современным меркам, они смогли определить математические связи между парами этих величин (например, давлением и температурой, давлением и объёмом), справедливые для идеального газа (ideal gas) — гипотетической модели, которую реальные газы хорошо приближают при определённых условиях. Со временем эти отдельные законы были объединены в единое выражение — уравнение состояния идеального газа (ideal gas law), связывающее величины, характеризующие состояние газа, и достаточно точное при низких давлениях и умеренных температурах. Рассмотрим ключевые этапы развития отдельных соотношений (для удобства изложения — не вполне в историческом порядке), а затем объединим их в уравнение состояния идеального газа.

Первые полёты воздушных шаров в 1783 году: (a) запуск водородного шара; (b) первый пилотируемый полёт на шаре, наполненном горячим воздухом; (c) первый пилотируемый полёт на водородном шаре.

Рис. 8.9. В 1783 году состоялись (a) первый полёт водородного воздушного шара, (b) первый пилотируемый полёт на шаре, наполненном горячим воздухом, и © первый пилотируемый полёт на водородном шаре. Согласно сообщениям, когда водородный шар, изображённый на (a), приземлился, испуганные жители деревни Гонесс уничтожили его вилами и ножами. За запуском последнего из них в Париже наблюдали, по разным оценкам, около 400 000 человек.

Давление и температура: закон Амонтона¶

Представим, что мы заполняем газом жёсткий сосуд с подсоединённым манометром, а затем герметично его закрываем, чтобы газ не мог выйти. Если сосуд охлаждать, газ внутри также охлаждается, и наблюдается уменьшение его давления. Поскольку сосуд жёсткий и герметичный, и объём газа, и количество его молей остаются постоянными. Если нагревать сосуд, газ внутри нагревается (Рис. 8.10), и давление увеличивается.

Действие температуры на давление газа: при выключенной электроплитке давление газа в шаре относительно низкое; при нагревании давление газа в шаре возрастает.

Рис. 8.10. Действие температуры на давление газа: при выключенной электроплитке давление газа в шаре относительно низкое. При нагревании давление газа в шаре возрастает.

Такая зависимость между температурой и давлением наблюдается для любого образца газа, помещённого в постоянный объём. Пример экспериментальных данных «давление — температура» для образца воздуха в этих условиях показан на Рис. 8.11. Видно, что температура и давление связаны линейно, а если температура выражена по шкале Кельвина, то $P$ и $T$ прямо пропорциональны (опять-таки при постоянных объёме и количестве газа): если температура по шкале Кельвина возрастает в некоторое число раз, давление газа возрастает во столько же раз.

$График зависимости давления воздуха от температуры при постоянных объёме и количестве газа. При экстраполяции прямая пересекает ось температур при $-273\ °\text{C}$, что соответствует нулю по шкале Кельвина и абсолютному нулю температуры.$

Рис. 8.11. При постоянном объёме и количестве воздуха давление и температура прямо пропорциональны при условии, что температура выражена в кельвинах. (При более низких температурах измерения невозможны из-за конденсации газа.) При экстраполяции эта прямая достигает нулевого давления при $-273\ °\text{C}$ — это нуль по шкале Кельвина и наинизшая возможная температура, называемая абсолютным нулём.

Французский физик Гийом Амонтон (Guillaume Amontons) первым эмпирически установил связь между давлением и температурой газа (около 1700 г.), а Жозеф Луи Гей-Люссак (Joseph Louis Gay-Lussac) определил эту связь точнее (около 1800 г.). Поэтому соотношение $P$–$T$ для газов известно как закон Амонтона или закон Гей-Люссака. Под любым из этих названий он гласит: давление данного количества газа прямо пропорционально его температуре по шкале Кельвина при постоянном объёме. Математически это можно записать так:

\[ P \propto T \quad \text{или} \quad P = k\,T \quad \text{или} \quad \frac{P}{T} = k, \]

где $\propto$ означает «пропорционально», а $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы, количества и объёма газа.

Для заключённого газа постоянного объёма отношение $P/T$ постоянно (то есть $P/T = k$). Если газ исходно находился в «состоянии 1» (с $P = P_1$ и $T = T_1$), а затем переходит в «состояние 2» (с $P = P_2$ и $T = T_2$), то

\[ \frac{P_1}{T_1} = k \quad \text{и} \quad \frac{P_2}{T_2} = k, \]

откуда

\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}. \]

Это уравнение удобно для расчётов «давление — температура» для заключённого газа при постоянном объёме. Отметим, что в любых расчётах по газовым законам температуры должны выражаться в кельвинах (нуль по шкале Кельвина — наинизшая возможная температура, называемая абсолютным нулём). Заметим также, что изменение давления газа с температурой можно описывать по меньшей мере тремя способами: таблицей значений, графиком или математическим уравнением.

Пример 8.5. Предсказание изменения давления при изменении температуры

Задача. Аэрозольный баллончик с лаком для волос использован до тех пор, пока в нём не остался один пропеллент — газообразный изобутан.

(a) На баллончике стоит предупреждение: «Хранить только при температурах ниже $120\ °\text{F}$ ($48{,}8\ °\text{C}$). Не сжигать». Почему?

(b) Газ в баллончике исходно находится при $24\ °\text{C}$ и $360\ \text{кПа}$, объём баллончика — $350\ \text{мл}$. Если баллончик оставлен в автомобиле, нагревшемся в жаркий день до $50\ °\text{C}$, каково новое давление в баллончике?

Решение.

(a) Баллончик содержит изобутан при постоянном объёме, так что повышение температуры приводит к пропорциональному повышению давления. Высокая температура может вызвать высокое давление, и баллончик может разорваться. (Кроме того, изобутан горюч, поэтому при сжигании баллончик может взорваться.)

(b) Речь идёт об изменении давления вследствие изменения температуры при постоянном объёме, поэтому используем закон Амонтона/Гей-Люссака. Принимая $P_1$ и $T_1$ за исходные величины, $T_2$ — за температуру, при которой давление неизвестно, и $P_2$ — за искомое давление, и переведя градусы Цельсия в кельвины, получаем:

\[ \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{360\ \text{кПа}}{297\ \text{К}} = \frac{P_2}{323\ \text{К}}. \]

Перегруппировав и решив, получаем:

\[ P_2 = \frac{360\ \text{кПа} \cdot 323\ \text{К}}{297\ \text{К}} = 392\ \text{кПа}. \]

Проверь себя. Образец азота, $\ce{N2}$, занимает $45{,}0\ \text{мл}$ при $27\ °\text{C}$ и $600\ \text{торр}$. Какое давление он будет иметь при охлаждении до $-73\ °\text{C}$, если объём не меняется?

Ответ: $400\ \text{торр}$.

Объём и температура: закон Шарля¶

Если наполнить воздушный шар воздухом и завязать, в нём окажется определённое количество воздуха при атмосферном давлении, скажем, $1\ \text{атм}$. Если поместить шар в холодильник, газ внутри охладится, и шар сожмётся (хотя количество газа и его давление остаются неизменными). Если охладить шар очень сильно, он сожмётся очень заметно и снова расширится при нагревании.

Дополнительно

Это видео показывает, как охлаждение и нагревание газа приводят соответственно к уменьшению и увеличению его объёма.

Приведённые примеры действия температуры на объём данного количества заключённого газа при постоянном давлении справедливы в общем случае: объём растёт с ростом температуры и уменьшается с её понижением. Данные «объём — температура» для образца метана в 1 моль при $1\ \text{атм}$ приведены и изображены на Рис. 8.12.

$График зависимости объёма от температуры для 1 моля газообразного метана при постоянном давлении $1\ \text{атм}$. При температуре, выраженной в кельвинах, объём и температура прямо пропорциональны.$

Рис. 8.12. Объём и температура линейно связаны для 1 моля газообразного метана при постоянном давлении $1\ \text{атм}$. Если температура выражена в кельвинах, объём и температура прямо пропорциональны. Линия обрывается при $111\ \text{К}$, потому что при этой температуре метан сжижается; при экстраполяции она пересекает начало координат, соответствующее абсолютному нулю.

Зависимость между объёмом и температурой данного количества газа при постоянном давлении известна как закон Шарля (Charles's law) — в честь французского учёного и пионера полётов на воздушных шарах Жака Александра Сезара Шарля (Jacques Alexandre César Charles). Закон Шарля гласит: объём данного количества газа прямо пропорционален его температуре по шкале Кельвина при постоянном давлении.

Математически:

\[ V \propto T \quad \text{или} \quad V = k\,T \quad \text{или} \quad \frac{V}{T} = k, \]

где $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от количества и давления газа.

Для заключённого образца газа при постоянном давлении отношение $V/T$ постоянно (то есть равно $k$), и, как и в случае соотношения $P$–$T$, отсюда получаем ещё одну форму закона Шарля:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}. \]

Пример 8.6. Предсказание изменения объёма при изменении температуры

Задача. Образец углекислого газа $\ce{CO2}$ занимает $0{,}300\ \text{л}$ при $10\ °\text{C}$ и $750\ \text{торр}$. Какой объём займёт этот газ при $30\ °\text{C}$ и $750\ \text{торр}$?

Решение. Речь идёт об изменении объёма из-за изменения температуры при постоянном давлении — задача для закона Шарля. Принимая $V_1$ и $T_1$ за исходные величины, $T_2$ — за температуру, при которой объём неизвестен, а $V_2$ — за искомый объём, и переведя градусы Цельсия в кельвины, получаем:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{0{,}300\ \text{л}}{283\ \text{К}} = \frac{V_2}{303\ \text{К}}. \]

Перегруппировав и решив:

\[ V_2 = \frac{0{,}300\ \text{л} \cdot 303\ \text{К}}{283\ \text{К}} = 0{,}321\ \text{л}. \]

Этот результат согласуется с нашим ожиданием по закону Шарля: повышение температуры газа (с $283\ \text{К}$ до $303\ \text{К}$) при постоянном давлении приводит к увеличению объёма (с $0{,}300\ \text{л}$ до $0{,}321\ \text{л}$).

Проверь себя. Образец кислорода $\ce{O2}$ занимает $32{,}2\ \text{мл}$ при $30\ °\text{C}$ и $452\ \text{торр}$. Какой объём он займёт при $-70\ °\text{C}$ и том же давлении?

Ответ: $21{,}6\ \text{мл}$.

Пример 8.7. Измерение температуры по изменению объёма

Задача. Иногда температуру измеряют газовым термометром, наблюдая изменение объёма газа при изменении температуры и постоянном давлении. Водород в одном таком газовом термометре имеет объём $150{,}0\ \text{см}^{3}$ при погружении в смесь льда с водой ($0{,}00\ °\text{C}$). При погружении в кипящий жидкий аммиак объём водорода при том же давлении равен $131{,}7\ \text{см}^{3}$. Найдите температуру кипения аммиака по шкале Кельвина и по шкале Цельсия.

Решение. При погружении в ванну со льдом и водой при $0{,}00\ °\text{C}$ ($T_1$) объём газа в термометре составляет $150{,}0\ \text{см}^{3}$ ($V_1$). При погружении в кипящий жидкий аммиак ($T_2$) объём газа равен $131{,}7\ \text{см}^{3}$ ($V_2$). Связь между объёмом и температурой при постоянном давлении даёт закон Шарля:

\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{150{,}0\ \text{см}^{3}}{273{,}15\ \text{К}} = \frac{131{,}7\ \text{см}^{3}}{T_2}. \]

Перегруппировав:

\[ T_2 = \frac{131{,}7\ \text{см}^{3} \cdot 273{,}15\ \text{К}}{150{,}0\ \text{см}^{3}} = 239{,}8\ \text{К}. \]

Вычитая $273{,}15$ из $239{,}8\ \text{К}$, получаем температуру кипения аммиака по шкале Цельсия: $-33{,}4\ °\text{C}$.

Проверь себя. Чему равен объём образца этана при $467\ \text{К}$ и $1{,}1\ \text{атм}$, если при $298\ \text{К}$ и $1{,}1\ \text{атм}$ он занимает $405\ \text{мл}$?

Ответ: $635\ \text{мл}$.

Объём и давление: закон Бойля¶

Если частично заполнить герметичный шприц воздухом, в нём окажется определённое количество воздуха при постоянной температуре, скажем, $25\ °\text{C}$. Если медленно нажимать на поршень, поддерживая температуру постоянной, газ в шприце сжимается до меньшего объёма, и его давление возрастает; если вытягивать поршень, объём увеличивается, а давление уменьшается. Это действие изменения объёма на давление данного количества заключённого газа справедливо в общем случае: уменьшение объёма заключённого газа повышает его давление, а увеличение объёма — понижает. Более того, если объём увеличивается во сколько-то раз, во столько же раз уменьшается давление — и наоборот. Данные «объём — давление» для образца воздуха при комнатной температуре изображены на Рис. 8.13.

$Зависимость давления газа от объёма при постоянных температуре и количестве газа: чем меньше объём, тем выше давление; график $1/P$ от $V$ линеен.$

Рис. 8.13. Если газ занимает меньший объём, он создаёт большее давление; если бóльший объём — меньшее (при условии, что количество газа и температура не меняются). Поскольку $P$ и $V$ обратно пропорциональны, график $1/P$ от $V$ — прямая линия.

В отличие от соотношений $P$–$T$ и $V$–$T$, давление и объём не пропорциональны друг другу прямо. Напротив, $P$ и $V$ связаны обратной пропорциональностью: при увеличении давления объём газа уменьшается. Математически:

\[ P \propto \frac{1}{V} \quad \text{или} \quad P = k \cdot \frac{1}{V} \quad \text{или} \quad PV = k, \]

где $k$ — постоянная. Графически эта зависимость представляется прямой линией, если построить график зависимости $1/P$ от $V$ или $1/V$ от $P$. Графики с кривыми линиями труднее точно считывать при малых или больших значениях переменных, и ими сложнее пользоваться при подгонке теоретических уравнений и параметров к экспериментальным данным. По этим причинам учёные часто стремятся «линеаризовать» свои данные. Если построить график $P$ от $V$, получим гиперболу (см. Рис. 8.14).

$Зависимость между давлением и объёмом обратно пропорциональна: (a) график $P$ от $V$ — гипербола; (b) график $1/P$ от $V$ — прямая линия.$

Рис. 8.14. Зависимость между давлением и объёмом обратно пропорциональна. (a) График $P$ от $V$ — гипербола, тогда как (b) график $1/P$ от $V$ — прямая.

Зависимость между объёмом и давлением данного количества газа при постоянной температуре впервые опубликовал английский натурфилософ Роберт Бойль (Robert Boyle) более 300 лет назад. Она выражена утверждением, известным теперь как закон Бойля (или закон Бойля-Мариотта; Boyle's law): объём данного количества газа при постоянной температуре обратно пропорционален давлению, под которым он измерен.

Пример 8.8. Объём образца газа

Задача. Образец газа на Рис. 8.13 имеет объём $15{,}0\ \text{мл}$ при давлении $13{,}0\ \text{psi}$. Определите давление газа при объёме $7{,}5\ \text{мл}$, используя:

(a) график $P$–$V$ на Рис. 8.13;

(b) график $1/P$ от $V$ на Рис. 8.13;

Обсудите вероятную точность каждого способа.

Решение.

(a) Оценка по графику $P$–$V$ даёт значение $P$ около $27\ \text{psi}$.

(b) Оценка по графику $1/P$ от $V$ даёт около $26\ \text{psi}$.

© Из закона Бойля известно, что произведение давления на объём $PV$ для данного образца газа при постоянной температуре всегда одно и то же. Следовательно, $P_1 V_1 = k$ и $P_2 V_2 = k$, откуда $P_1 V_1 = P_2 V_2$.

Принимая $P_1$ и $V_1$ за известные значения $13{,}0\ \text{psi}$ и $15{,}0\ \text{мл}$, $P_2$ — за искомое давление, $V_2 = 7{,}5\ \text{мл}$:

\[ P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{13{,}0\ \text{psi} \cdot 15{,}0\ \text{мл}}{7{,}5\ \text{мл}} = 26\ \text{psi}. \]

Оценить значение по графику $P$–$V$ оказалось труднее, поэтому (a) скорее всего менее точно, чем (b) или ©. Расчёт по формуле будет настолько точен, насколько позволяют уравнение и измерения.

Проверь себя. Образец газа на Рис. 8.13 имеет объём $30{,}0\ \text{мл}$ при давлении $6{,}5\ \text{psi}$. Определите объём газа при давлении $11{,}0\ \text{psi}$, используя: (a) график $P$–$V$; (b) график $1/P$ от $V$; © уравнение закона Бойля. Обсудите точность каждого способа.

Ответ: (a) около $17$–$18\ \text{мл}$; (b) около $18\ \text{мл}$; © $17{,}7\ \text{мл}$; оценить по графику $P$–$V$ было труднее, поэтому (a) скорее менее точно, чем (b); расчёт по формуле будет настолько точен, насколько позволяют уравнение и измерения.

Химия в повседневной жизни. Дыхание и закон Бойля

Что вы делаете около 20 раз в минуту всю свою жизнь без перерыва, часто даже не замечая? Ответ, разумеется, — дышите. Как это устроено? Оказывается, газовые законы применимы и здесь. Лёгкие принимают газ, нужный организму (кислород), и удаляют отходы (углекислый газ). Лёгкие состоят из губчатой, эластичной ткани, которая расширяется и сжимается при дыхании. На вдохе диафрагма и межрёберные мышцы (мышцы между рёбрами) сокращаются, увеличивая объём грудной полости и тем самым объём лёгких. Увеличение объёма приводит к уменьшению давления (закон Бойля). Это вызывает поток воздуха в лёгкие — из области высокого давления в область низкого. На выдохе процесс обращается: диафрагма и межрёберные мышцы расслабляются, грудная полость сжимается, объём лёгких уменьшается, давление возрастает (опять-таки закон Бойля), и воздух вытекает из лёгких — снова из области высокого давления в область низкого. Затем вы вдыхаете и выдыхаете снова, повторяя этот «цикл Бойля» всю оставшуюся жизнь (Рис. 8.15).

Дыхание: расширение и сжатие лёгких создают небольшую разность давлений между лёгкими и окружающей средой, и воздух втекает или вытекает из лёгких.

Рис. 8.15. Дыхание происходит потому, что расширение и сжатие лёгких создаёт небольшую разность давлений между лёгкими и окружающей средой, что вызывает приток или отток воздуха из лёгких.

Количество вещества и объём газа: закон Авогадро¶

Итальянский учёный Амедео Авогадро в 1811 году выдвинул гипотезу для объяснения поведения газов: равные объёмы любых газов, измеренные при одинаковых условиях температуры и давления, содержат одинаковое число молекул. Со временем многочисленные эксперименты подтвердили это соотношение, известное как закон Авогадро (Avogadro's law): для заключённого газа объём $V$ и количество вещества (число молей) $n$ прямо пропорциональны, если давление и температура постоянны.

В виде уравнения:

\[ V \propto n \quad \text{или} \quad V = k\,n \quad \text{или} \quad \frac{V}{n} = k. \]

Математические зависимости можно установить и для других пар переменных, таких как $P$ и $n$ или $n$ и $T$.

Дополнительно

Откройте интерактивную симуляцию PhET, чтобы исследовать связи между давлением, объёмом, температурой и количеством газа. С её помощью можно изучить, как изменение одного параметра влияет на другой при сохранении остальных постоянными (как описано в предыдущих разделах об отдельных газовых законах).

Уравнение состояния идеального газа¶

К настоящему моменту мы обсудили четыре отдельных закона, связывающих давление, объём, температуру и число молей газа:

Закон Бойля: $PV = \text{const}$ при постоянных $T$ и $n$.
Закон Амонтона: $\dfrac{P}{T} = \text{const}$ при постоянных $V$ и $n$.
Закон Шарля: $\dfrac{V}{T} = \text{const}$ при постоянных $P$ и $n$.
Закон Авогадро: $\dfrac{V}{n} = \text{const}$ при постоянных $P$ и $T$.

Объединение этих четырёх законов даёт уравнение состояния идеального газа — соотношение между давлением, объёмом, температурой и числом молей газа:

\[ PV = nRT, \]

где $P$ — давление газа, $V$ — его объём, $n$ — число молей газа, $T$ — его температура по шкале Кельвина, а $R$ — постоянная, называемая газовой постоянной или универсальной газовой постоянной. Единицы, в которых выражаются давление, объём и температура, определяют надлежащую форму газовой постоянной в соответствии с анализом размерностей. Наиболее употребительные значения:

\[ R = 8{,}314\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} = 0{,}08206\ \frac{\text{л}\cdot\text{атм}}{\text{моль}\cdot\text{К}} = 8{,}314\ \frac{\text{кПа}\cdot\text{л}}{\text{моль}\cdot\text{К}}. \]

Газы, свойства $P$, $V$ и $T$ которых точно описываются уравнением состояния идеального газа (или другими газовыми законами), называют такими, что демонстрируют идеальное поведение, или приближённо ведут себя как идеальный газ. Идеальный газ — гипотетическая модель, которую вместе с кинетико-молекулярной теорией можно использовать для эффективного объяснения газовых законов (как будет описано далее в этой главе). Хотя все расчёты этого модуля предполагают идеальное поведение, такое предположение оправданно лишь для газов в условиях относительно низких давлений и высоких температур. В последнем модуле этой главы будет введено модифицированное уравнение состояния, учитывающее неидеальное поведение многих газов при относительно высоких давлениях и низких температурах.

Уравнение состояния идеального газа содержит пять величин — газовую постоянную $R$ и переменные $P$, $V$, $n$ и $T$. Задав любые четыре из них, можно с помощью этого уравнения вычислить пятую, как показано в следующих примерах.

Пример 8.9. Применение уравнения состояния идеального газа

Задача. Метан $\ce{CH4}$ рассматривают как альтернативное автомобильное топливо для замены бензина. Один галлон бензина может быть заменён $655\ \text{г}$ $\ce{CH4}$. Каков объём такого количества метана при $25\ °\text{C}$ и $745\ \text{торр}$?

Решение. Перегруппируем $PV = nRT$ для нахождения $V$:

\[ V = \frac{nRT}{P}. \]

Если выбрать $R = 0{,}08206\ \text{л}\cdot\text{атм}/(\text{моль}\cdot\text{К})$, то количество должно быть в молях, температура — в кельвинах, а давление — в атмосферах.

Переводим в «нужные» единицы:

\[ n = 655\ \text{г}\ \ce{CH4} \cdot \frac{1\ \text{моль}}{16{,}043\ \text{г}\ \ce{CH4}} = 40{,}8\ \text{моль}, \]

\[ T = 25\ °\text{C} + 273{,}15 = 298\ \text{К}, \]

\[ P = 745\ \text{торр} \cdot \frac{1\ \text{атм}}{760\ \text{торр}} = 0{,}980\ \text{атм}. \]

Отсюда

\[ V = \frac{40{,}8\ \text{моль} \cdot 0{,}08206\ \text{л}\cdot\text{атм}\,\text{моль}^{-1}\,\text{К}^{-1} \cdot 298\ \text{К}}{0{,}980\ \text{атм}} = 1020\ \text{л}. \]

Чтобы заменить 1 галлон бензина, потребовалось бы $1020\ \text{л}$ ($269\ \text{гал}$) газообразного метана при давлении около $1\ \text{атм}$. Для хранения такого количества метана при $1\ \text{атм}$ нужен большой сосуд.

Проверь себя. Рассчитайте давление в барах для $2520\ \text{моль}$ газообразного водорода, хранящегося при $27\ °\text{C}$ в баке объёмом $180\ \text{л}$ современного автомобиля на водородном топливе.

Ответ: $350\ \text{бар}$.

Если число молей идеального газа сохраняется в двух различных состояниях, получается полезное соотношение, называемое объединённым газовым законом (combined gas law):

\[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} \]

(при использовании единиц атм, л и К). Оба выражения равны произведению $n \cdot R$ (где $n$ — число молей газа, $R$ — газовая постоянная).

Пример 8.10. Применение объединённого газового закона

Задача. Заполненный воздухом обычный акваланг объёмом $13{,}2\ \text{л}$ имеет давление $153\ \text{атм}$ (Рис. 8.16). Если температура воды равна $27\ °\text{C}$, сколько литров воздуха получит из такого баллона ныряльщик на глубине около $70$ футов в океане, где давление равно $3{,}13\ \text{атм}$?

Акваланг: ныряльщики используют сжатый воздух для дыхания под водой.

Рис. 8.16. Ныряльщики используют сжатый воздух для дыхания под водой. (источник: модификация работы Марка Гудчайлда)

Решение. Пусть индекс 1 относится к воздуху в баллоне, а индекс 2 — к воздуху в лёгких; температура воздуха в лёгких равна температуре тела, $37\ °\text{C}$:

\[ \frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{153\ \text{атм} \cdot 13{,}2\ \text{л}}{300\ \text{К}} = \frac{3{,}13\ \text{атм} \cdot V_2}{310\ \text{К}}. \]

Решая относительно $V_2$:

\[ V_2 = \frac{153\ \text{атм} \cdot 13{,}2\ \text{л} \cdot 310\ \text{К}}{300\ \text{К} \cdot 3{,}13\ \text{атм}} = 667\ \text{л}. \]

(Замечание. Этот пример — один из тех, где предположение об идеальном поведении не очень оправданно, поскольку речь идёт о газах при относительно высоких давлениях и низких температурах. Несмотря на это, рассчитанный объём можно рассматривать как приемлемую «оценочную» величину.)

Проверь себя. Образец аммиака занимает $0{,}250\ \text{л}$ в лабораторных условиях при $27\ °\text{C}$ и $0{,}850\ \text{атм}$. Найдите объём этого образца при $0\ °\text{C}$ и $1{,}00\ \text{атм}$.

Ответ: $0{,}193\ \text{л}$.

Химия в повседневной жизни. Взаимосвязь глубины и давления при подводном плавании

На Большом Барьерном рифе в Австралии (Рис. 8.17) или в Карибском море — где бы ни погружался ныряльщик, ему необходимо понимать, как давление сказывается на ряде вопросов, связанных с его комфортом и безопасностью.

Аквалангисты на Большом Барьерном рифе или в Карибском море должны учитывать плавучесть, выравнивание давления и продолжительность пребывания под водой, чтобы избежать рисков, связанных с газами под давлением в организме.

Рис. 8.17. Аквалангисты — будь то на Большом Барьерном рифе или в Карибском море — должны учитывать плавучесть, выравнивание давления и продолжительность пребывания под водой, чтобы избежать рисков, связанных с газами под давлением в организме. (источник: Кайл Тейлор)

С увеличением глубины давление возрастает, и быстрее всего оно изменяется у самой поверхности. Давление, действующее на ныряльщика, складывается из давлений всех слоёв сверху (воды и воздуха). Большинство измерений давления в среде аквалангистов даётся в атмосферах: его выражают как «атмосферы абсолютные», или ATA. Каждые $33$ фута солёной воды добавляют $1\ \text{ATA}$ к $1\ \text{ATA}$ атмосферного давления на уровне моря. При погружении возрастающее давление сжимает воздушные полости в теле — в ушах и лёгких; при всплытии падение давления приводит к расширению этих полостей, что чревато разрывом барабанных перепонок или повреждением лёгких. Поэтому ныряльщик должен выравнивать давление: при погружении — нормальным дыханием, а также «продувкой» маски выдохом через нос и продувкой ушей и пазух специальными приёмами; на подъёме верно обратное: ныряльщик должен выпускать воздух из тела, чтобы сохранять равновесие давлений. Плавучесть — способность контролировать, тонет ныряльщик или всплывает, — управляется компенсатором плавучести (BCD). Если ныряльщик всплывает, воздух в компенсаторе расширяется из-за падения давления по закону Бойля (уменьшение давления газа увеличивает его объём). Расширяющийся воздух увеличивает плавучесть, и ныряльщик начинает всплывать. Он должен стравить воздух из компенсатора, иначе всплытие станет неконтролируемым и может привести к разрыву лёгких. При погружении возрастающее давление сжимает воздух в компенсаторе, и ныряльщик погружается значительно быстрее; он должен добавить воздух в компенсатор, иначе спуск окажется неконтролируемым и приведёт к ещё более высоким давлениям у дна. Давление также влияет на продолжительность пребывания под водой до всплытия. Чем глубже ныряльщик, тем сильнее сжат вдыхаемый воздух из-за возросшего давления: на глубине $33$ фута давление равно $2\ \text{ATA}$, и воздух сжат вдвое по сравнению с исходным объёмом. Ныряльщик расходует имеющийся запас воздуха вдвое быстрее, чем на поверхности.

Нормальные условия температуры и давления¶

Мы видели, что объём данного количества газа и число молекул (молей) в данном объёме изменяются с изменением давления и температуры. Для удобства сравнения свойств газов химики иногда используют нормальные условия (standard temperature and pressure, STP; в русской традиции — «н. у.», а также «СТД»): $273{,}15\ \text{К}$ и $1\ \text{атм}$ ($101{,}325\ \text{кПа}$).¹ При нормальных условиях один моль идеального газа занимает объём около $22{,}4\ \text{л}$ — это величина, называемая молярным объёмом (molar volume) (Рис. 8.18).

$Независимо от химической природы один моль газа, ведущего себя идеально, занимает объём около $22{,}4\ \text{л}$ при нормальных условиях.$

Рис. 8.18. Независимо от химической природы один моль газа, ведущего себя идеально, занимает объём около $22{,}4\ \text{л}$ при нормальных условиях.

Определение стандартного давления, принятое ИЮПАК, было изменено в 1982 году с $1\ \text{атм}$ на $1\ \text{бар}$ ($100\ \text{кПа}$), однако прежнее определение по-прежнему используется во многих источниках и применяется в этом учебнике. ↩